Пусть числа: a+bi и c+di, причем b и d одного знака.
Тогда действительные части суммы и произведения есть a+с и ac-bd.
Предположим, что сумма и произведение - чисто мнимые, тогда выполнено:
a+с=0 и
ac-bd=0

Выражая из первого c=-a и подставляя во второе, получим:

-a^2-bd=0.
Противоречие, так как левая часть всегда отрицательна, если b и d одного знака.