Дан интеграл ∫ctg^2(x) * cosec(x) dx.
Я заменила ctg^2(x) на (cosec^2(x)-1), умножила (cosec^2(x)-1) на cosec(x),в результате получилась разность двух интегралов: ∫cosec^3(x) dx - ∫cosec(x) dx . Что делать со степенью первого интеграла?
И каким еще способом,кроме такой замены можно решить этот интеграл? Преподаватель говорит,что есть способ гораздо легче,но я в упор не вижу,как еще решить.

∫ctg^2(x) * cosec(x) dx=∫sin(x) /(cos(x)) ^2dx..

Теперь косинус берите за новую переменную или вносите синус под знак дифференциала.

ctg(x) = cos(x)/sin(x), так что выражение под интегралом будет немного другое(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Действительно.
Будет ∫(cos x)^2 /(sin x)^3 dx..
Тогда можно домножить числитель и знаменатель на
sin x, а cos x взять за новую переменную. Сведется к интегралу от рациональной функции.