y'=(9x+4y-5)^2
В книге написано, что надо зделать замену z=9x+4y-5.
и тогда получится уравнение с разделяющимися переменными z'=4z^2+9.
а почему так надо делать? какая между y'=(9x+4y-5)^2 и z'=4z^2+9 связь?

Так надо делать, потому что это метод решения дифференциальных уравнений такого рода.
z(x) = 9x + 4y - 5 => y = (z - 9x + 5)/4 => y' = 1/4 * (z' - 9)
Получаем, что
1/4 * (z' - 9) = z^2 => z' - 9 = 4z^2 => z' = 4z^2 + 9

аа...вон оно как