Здравствуйте. Нужна помощь в разборе задания.

Необходимо по графику (выделенной области) перейти к полярным координатам.

x=r*cos(Фи)
y=r*sin(Фи)

сначала разложить по Фи, потом по r.

Примерно такой вид должен получиться



Ну, в общем, необходимо расставить пределы в обоих разложениях, это и требуется. Надо как-то проводить сечения, причем когда раскладываем по фи(внешний интеграл) - линиями, а когда по r - дугами. Вот с этим и проблема. Прошу помочь и объяснить, как это делается. Допустим, на примере двух графиков.





Ну, или, в крайнем случае, указать на материал для чтения что ли.

Идея простая. Нужно уравнение каждой границы фигуры переписать в координатах (fi, r). Затем выбрать на исходном графике какую-нибудь вершину и начинать идти в какую-нибудь сторону по границе (например, так, чтобы фигура всегда оставалась слева). При этом параллельно строить график в прямоугольных координатах (fi,r) так, будто x - это fi, а y - r (хотя можно и наоборот - никто не запрещает). В итоге у Вас должна получиться замкнутая фигура, а двойной интеграл по исходной фигуре заменится на двойной по новой с учётом якобиана.

А в каких случаях будут разбиваться на сумму интегралов? И как выражаются пределы? Не могли бы вы разобрать на примере

На сумму разбивается, если границу вдоль одной из осей интегрирования на всём её протяжении нельзя записать одним выражением.
Скажем, на первом рисунке двойной интеграл по площади можно записать как (f = f(x,y) - интегрируемая функция):
S = int(int(f*dx*dy)) = int([0..1]dx*int([0..x+1]f*dy)),
а можно поменять порядок интегрирования, тогда получится нечто вроде
S = int(int(f*dx*dy)) = int([0..1]dy*int([0..1]f*dx)) + int([1..2]dy*int([y-1..1]f*dx))
Здесь первый интеграл - интегрирование по нижнему квадрату, а второй - по верхнему треугольнику.

Если я правильно понял, то вы расписали в декартовых координатах (по x и по y), так?

Да.

Да с декартовыми, в принципе, не было проблем. Здесь надо к полярным привести. Я вроде бы немного разобрался с этими прямыми и дугами, вот что получилось для первого примера:

по фи


по r


и решение


Проверьте, если не трудно