Версия для печати темы

Автор: Sergio Ramos 2.4.2012, 15:12

Здравствуйте. Нужна помощь в разборе задания.

Необходимо по графику (выделенной области) перейти к полярным координатам.

x=r*cos(Фи)
y=r*sin(Фи)

сначала разложить по Фи, потом по r.

Примерно такой вид должен получиться



Ну, в общем, необходимо расставить пределы в обоих разложениях, это и требуется. Надо как-то проводить сечения, причем когда раскладываем по фи(внешний интеграл) - линиями, а когда по r - дугами. Вот с этим и проблема. Прошу помочь и объяснить, как это делается. Допустим, на примере двух графиков.


[attachmentid=4085]
[attachmentid=4086]

Ну, или, в крайнем случае, указать на материал для чтения что ли.

Автор: граф Монте-Кристо 2.4.2012, 15:19

Идея простая. Нужно уравнение каждой границы фигуры переписать в координатах (fi, r). Затем выбрать на исходном графике какую-нибудь вершину и начинать идти в какую-нибудь сторону по границе (например, так, чтобы фигура всегда оставалась слева). При этом параллельно строить график в прямоугольных координатах (fi,r) так, будто x - это fi, а y - r (хотя можно и наоборот - никто не запрещает). В итоге у Вас должна получиться замкнутая фигура, а двойной интеграл по исходной фигуре заменится на двойной по новой с учётом якобиана.

Автор: Sergio Ramos 2.4.2012, 15:40

А в каких случаях будут разбиваться на сумму интегралов? И как выражаются пределы? Не могли бы вы разобрать на примере

Автор: граф Монте-Кристо 2.4.2012, 15:55

На сумму разбивается, если границу вдоль одной из осей интегрирования на всём её протяжении нельзя записать одним выражением.
Скажем, на первом рисунке двойной интеграл по площади можно записать как (f = f(x,y) - интегрируемая функция):
S = int(int(f*dx*dy)) = int([0..1]dx*int([0..x+1]f*dy)),
а можно поменять порядок интегрирования, тогда получится нечто вроде
S = int(int(f*dx*dy)) = int([0..1]dy*int([0..1]f*dx)) + int([1..2]dy*int([y-1..1]f*dx))
Здесь первый интеграл - интегрирование по нижнему квадрату, а второй - по верхнему треугольнику.

Автор: Sergio Ramos 2.4.2012, 16:06

Если я правильно понял, то вы расписали в декартовых координатах (по x и по y), так?

Автор: граф Монте-Кристо 2.4.2012, 17:08

Да.

Автор: Sergio Ramos 2.4.2012, 18:34

Да с декартовыми, в принципе, не было проблем. Здесь надо к полярным привести. Я вроде бы немного разобрался с этими прямыми и дугами, вот что получилось для первого примера:

по фи


по r


и решение


Проверьте, если не трудно