Подскажите, пожалуйста, какой заменой или каким методом воспользоваться для решения след. интегралов:

1) sin(x)/[(1+sin(x))^2]

2) sin(x)/[2+sin(x)]

3) [2*cos(x)+3*sin(x)]/{[2*sin(x)-3*cos(x)]^2}

А какими вы пробовали?

Я пробовала заменой переменной, но этот способ вообще не получился ни в одном из интегралов

tg(x/2)=t - скорее всего должно помочь в каждом интеграле.

У меня появились нестыковки при решении интегралов, подскажите, пожалуйста, в чем ошибки:

1) sin(x)/[2+sin(x)]

сделала замену tg(x/2)=t
в итоге получился интеграл 2dt/(t^2+t+1)
преобразовала знаменатель: t^2+t+1=t^2+2*1/2*t+1/4+3/4=(t+1)^2+3/4
после этого интеграл принял вид: 2dt/[((t+1)^2)+({sqrt(3)}/2)^2]
это табличный интеграл и решение имеет вид: {4/(sqrt(3))}*arctg[(sqrt(3)*(t+1))/2]
но при проверке дифференцированием интеграл не сходится

2) [2*cos(x)+3*sin(x)]/{[2*sin(x)-3*cos(x)]^2}

в этом интеграле сделала такую же замену, как и в 1), после всех подстановок и упрощений получилось выражение: [12*t-2*t^2+2]/[(4*t-1-t^2)^2] = [12*t-2*t^2+2]/[18*t^2+t^4-8*t^3-8*t+1]
но как теперь из этого выражения интеграл брать, непонятно.

Заранее, огромное спасибо за помощь!!!

А покажите, как такое получили, у меня несколько другое вышло.

Подробнее тоже распишите, пожалуйста. Либо прикрепите отсканированное решение.

1) в sin(x)/[2+sin(x)] я потеряла dx, но он теперь наоборот усложнился, вот что получилось:


{[2*t/(1+t^2)] / [2+(2*t/(1+t^2)] } * (2dt/(1+t^2)

далее в {} сокращается (1+t^2) и 2 и получается:

{t/(1+t+t^2)}*(2dt/(1+t^2)=tdt/(t^4+t^3+2*t^2+t+1)


2) 2*cos(x)+3*sin(x)]/{[2*sin(x)-3*cos(x)]^2}

[{[2-2*t^2+6*t]/(1+t^2)}/{[[4*t-3+3*t^2]/(1+t^2)]^2}]*(2dt/(1+t^2))

сокращаем все (1+t^2) и получаем:
{[4-4*t^2+12*t]/[(4*t-3+3*t^2)^2]}dt

раскладываем квадрат в знаменателе и получаем:

{[4-4*t^2+12*t]/[9*t^4+24*t^3-2*t^2-24*t+9]}dt

Я уже в этих цифрах запуталась)), может быть неверно упрощаю, никак не пойму, в чем ошибки этих примеров

теперь сложную дробь раскладываем на сумму простых

2t/[(1+t+t^2)(1+t^2)] =(At+B )/(1+t+t^2)+(Ct+D )/(1+t^2)

Ищите теперь A, B,C,D

А с этим интегралом как быть? Здесь тоже ошибка у меня?

2) 2*cos(x)+3*sin(x)]/{[2*sin(x)-3*cos(x)]^2}

[{[2-2*t^2+6*t]/(1+t^2)}/{[[4*t-3+3*t^2]/(1+t^2)]^2}]*(2dt/(1+t^2))

сокращаем все (1+t^2) и получаем:
{[4-4*t^2+12*t]/[(4*t-3+3*t^2)^2]}dt

раскладываем квадрат в знаменателе и получаем:

{[4-4*t^2+12*t]/[9*t^4+24*t^3-2*t^2-24*t+9]}dt

Этот можно вычислить проще, взяв за новую переменную то, что стоит под знаком квадрата в знаменателе.