Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Интегралы _ Интегралы функции одной переменной
Автор: Irisha 20.4.2010, 13:49
Подскажите, пожалуйста, какой заменой или каким методом воспользоваться для решения след. интегралов:
1) sin(x)/[(1+sin(x))^2]
2) sin(x)/[2+sin(x)]
3) [2*cos(x)+3*sin(x)]/{[2*sin(x)-3*cos(x)]^2}
Автор: tig81 20.4.2010, 14:05
А какими вы пробовали?
Автор: Irisha 21.4.2010, 9:57
Я пробовала заменой переменной, но этот способ вообще не получился ни в одном из интегралов
Автор: граф Монте-Кристо 21.4.2010, 10:33
tg(x/2)=t - скорее всего должно помочь в каждом интеграле.
Автор: Irisha 22.4.2010, 13:47
У меня появились нестыковки при решении интегралов, подскажите, пожалуйста, в чем ошибки:
1) sin(x)/[2+sin(x)]
сделала замену tg(x/2)=t
в итоге получился интеграл 2dt/(t^2+t+1)
преобразовала знаменатель: t^2+t+1=t^2+2*1/2*t+1/4+3/4=(t+1)^2+3/4
после этого интеграл принял вид: 2dt/[((t+1)^2)+({sqrt(3)}/2)^2]
это табличный интеграл и решение имеет вид: {4/(sqrt(3))}*arctg[(sqrt(3)*(t+1))/2]
но при проверке дифференцированием интеграл не сходится
2) [2*cos(x)+3*sin(x)]/{[2*sin(x)-3*cos(x)]^2}
в этом интеграле сделала такую же замену, как и в 1), после всех подстановок и упрощений получилось выражение: [12*t-2*t^2+2]/[(4*t-1-t^2)^2] = [12*t-2*t^2+2]/[18*t^2+t^4-8*t^3-8*t+1]
но как теперь из этого выражения интеграл брать, непонятно.
Заранее, огромное спасибо за помощь!!!
Автор: tig81 22.4.2010, 15:51
в итоге получился интеграл 2dt/(t^2+t+1)
А покажите, как такое получили, у меня несколько другое вышло.
после всех подстановок и упрощений получилось выражение: [12*t-2*t^2+2]/[(4*t-1-t^2)^2]
Подробнее тоже распишите, пожалуйста. Либо прикрепите отсканированное решение.
Автор: Irisha 22.4.2010, 16:21
1) в sin(x)/[2+sin(x)] я потеряла dx, но он теперь наоборот усложнился, вот что получилось:
{[2*t/(1+t^2)] / [2+(2*t/(1+t^2)] } * (2dt/(1+t^2)
далее в {} сокращается (1+t^2) и 2 и получается:
{t/(1+t+t^2)}*(2dt/(1+t^2)=tdt/(t^4+t^3+2*t^2+t+1)
2) 2*cos(x)+3*sin(x)]/{[2*sin(x)-3*cos(x)]^2}
[{[2-2*t^2+6*t]/(1+t^2)}/{[[4*t-3+3*t^2]/(1+t^2)]^2}]*(2dt/(1+t^2))
сокращаем все (1+t^2) и получаем:
{[4-4*t^2+12*t]/[(4*t-3+3*t^2)^2]}dt
раскладываем квадрат в знаменателе и получаем:
{[4-4*t^2+12*t]/[9*t^4+24*t^3-2*t^2-24*t+9]}dt
Я уже в этих цифрах запуталась)), может быть неверно упрощаю, никак не пойму, в чем ошибки этих примеров
Автор: Dimka 22.4.2010, 16:53
1) в sin(x)/[2+sin(x)] я потеряла dx, но он теперь наоборот усложнился, вот что получилось:
{[2*t/(1+t^2)] / [2+(2*t/(1+t^2)] } * (2dt/(1+t^2)
далее в {} сокращается (1+t^2) и 2 и получается:
{t/(1+t+t^2)}*(2dt/(1+t^2)= 2tdt/[(1+t+t^2)(1+t^2)]
теперь сложную дробь раскладываем на сумму простых
2t/[(1+t+t^2)(1+t^2)] =(At+B )/(1+t+t^2)+(Ct+D )/(1+t^2)
Ищите теперь A, B,C,D
Автор: Irisha 23.4.2010, 15:05
А с этим интегралом как быть? Здесь тоже ошибка у меня?
2) 2*cos(x)+3*sin(x)]/{[2*sin(x)-3*cos(x)]^2}
[{[2-2*t^2+6*t]/(1+t^2)}/{[[4*t-3+3*t^2]/(1+t^2)]^2}]*(2dt/(1+t^2))
сокращаем все (1+t^2) и получаем:
{[4-4*t^2+12*t]/[(4*t-3+3*t^2)^2]}dt
раскладываем квадрат в знаменателе и получаем:
{[4-4*t^2+12*t]/[9*t^4+24*t^3-2*t^2-24*t+9]}dt
Автор: граф Монте-Кристо 23.4.2010, 15:22
Этот можно вычислить проще, взяв за новую переменную то, что стоит под знаком квадрата в знаменателе.
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)