Система, метод исключения неизвестных
xy'=z
xz'+z+4y=0

если найти в первом уравнении z'=y''
тогда во второе подставив получил x*y''+x*y'+4y=0 не могу избавиться от х, если из первого выразить x=z/y', будет (z/y')*y''+z+4y=0
y'=(-z'-z'')/4
(z/(-z'-z'')/4)*z'+z=-4*((-z-xz')/4
4z/(-z'-z'')*z'+z=z+xz'
не могу выразить, получилась дробь 4z/(-z'-z'')*z', что-то не то

Неправильно выразили z'.

z' надо выражать из 2-го уравнения?
z'=(-4y-z)/x, тогда x=z/y', а у'=(-z'-z'')/4)

z'=(-4y-z)/z/y' => z'=(-4y-z)/z/(-z'-z'')/4)

y=(-z-xz')/4

z'=(-4*(-z-xz')/4-z)/z/(-z'-z'')/4)

z'=(xz'*(-z'-z''))/4z

Нет.Если z=xy', то z'=(xy')'=y'+xy''

Теперь понял, теперь его подставлять во второе уравнение
(y'+xy'')*х+z+4y=0
xy'+x^2y''+x*y'+4y=0
x^2y''+2*x*y'+4y=0
далее находим х и z
х находим из 1го уравнения x=z/y'
z=?

Из этого уравнения найдите y как функцию от x, а потом - ищите z.

x^2y''+2*x*y'+4y=0

y=(-x^2y''-2*x*y')/4
потом подставлять у в xz'+z+4y=0 для нахождения z?

xz'+z-(x^2)*y''-2*x*y'=0

z=(x^2)*y''+2*x*y'-xz'

Нет. Решите это уравнение
x^2y''+2*x*y'+4y=0,
из него найдёте y. Потом подставите куда надо - получите z.

я так понимаю решать его методом Эйлера

Можно.

получилось, если:
x=е^t
t=lnx
y'=(dy/dt)*e^(-t)
y''=((d^2)y/dt^2)*e^(-2t)

е^2t*((d^2)y/d(t^2)-(dy/dt))*e^(-2t)+2*е^t*(dy/dt)*e^(-t)+4y=0

(d^2)y/d(t^2)+(dy/dt)+4y=0

тогда y=e^kx
y'=k*e^(kx)
y''=(k^2)*e^(kx)

k^2e^kx+(k*e^(kx))+4*e^kx=0
e^(kx)*(k^2+k+4)=0
D=-15
k1=(-1+корень15i)/2
k2=(-1-корень15i)/2
комплексные числа
y1=e^(-x)*cos(15x)
y2=e^(-x)*sin(15x)

y=c1*e^(-x)*cos(15x)+c2*e^(-x)*sin(15x)
При нахождении у1 и у2 е^(-x) или -1/2 ?

неправильно

Нашёл свою ошибку: y=c1*e^((-1/2)x)*cos(15/2x)+c2*e^((-1/2)x)*sin(15/2x)

нет.

в чём же ошибка?

В преобразованиях. Вы сами внимательно проверьте свои выкладки или подставьте ответ в свое уравнение. Верное равенство не получается.

y1=e^(-t/2)*cos(t*sqrt(15)/2)
y2=e^(-t/2)*sin(t*sqrt(15)/2)
Теперь подставляйте t=lnx и находите z.

y1=e^(-t/2)*cos(t*sqrt(15)/2)
y2=e^(-t/2)*sin(t*sqrt(15)/2)

у=с1*e^(-lnx/2)*cos(lnx*sqrt(15)/2)+с2*e^(-lnx/2)*sin(lnx*sqrt(15)/2)
для отыскания z надо найти производную y' и подставить в первое уравнение xy'=z

Да.