сумм(x^2n)/(n^2+9)
При решении воспользуемся признаком Даламбера: если существует предел lim (n->00)=l, то при l<1 ряд сходится, l>1 ряд расходится, при l=1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.
Из исходного ряда имеем an=(x^2n)/(n^2+9), а следующий ряд верный ?:
an=(x^(2n+1))/((n+1)^2+9) и что дальше делать?

нет

Воспользуйтесь радикальным признаком Коши.

lim(n->00) n-й корень(x^2n)/(n^2+9)=lim(n->00) x^2
Так?

так.

|x^2|<1
а что дальше делать?

решать неравенство.

x<1, ряд расходится
Так?

нет.

x^2<1
x^2-1<0
Метод интервалов, например.

x принадлежит (-1,+1)
Верно?

Верно. Остаётся посмотреть концы интервала.

Не поняла?

Что не поняла? Я подтвердил, что при |x| < 1 ряд сходится, при |x|>1 расходится. Остаётся посмотреть x=-1 и x=1.

тогда получается -1<1, так?

-1<1 выполняется независимо ни от чего. Речь идёт о том, сходится ли ряд, если в него вместо x подставить 1 или -1. Вот с этим Вам и надо определиться.

Нужно исследовать на сходимость числовой ряд (т.е. не содержащий х). Этот ряд вы получите после подстановки в исходный ряд вместо х значения границ промежутка. Сначала для х= -1, затем: х=+1. Деляется это потому,что Признак Даламбера утверждает, что степенной ряд сходится в интервале, кот.вы нашли, но ничего не говорит о границах интервала. На границах требуется доп.исследование.

x=1
lim(n->00) 1^2n/(n^2+9)
x=-1
lim(n->00) (-1)^2n/(n^2+9)
А как дальше быть?

Сравнить с рядом 1/n^2.

А как?