Здравствуйте! Вот решаю контрольную. Сделала один пример. Пожалуйста подскажите правильно решила или где то ошибку допустила. (IMG:style_emoticons/default/mellow.gif)

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:

т.е. -lnx/x

c1*(-c/x)=-(c1*c)/x=-c2/x, где с2=с1*с.

в общем "общее решение дифференциального уравнения" получается

y=-((lnx/x)-(c2/x)).

а вот проверку делать найденный у подставлять в самое первоначальное уравнение ((x^2)*y'+xy+1=0)?
или в то уравнение (y'+(y/x)+(1/(x^2))=0) которое получилось когда первоначальное поделили на (x^2)? (IMG:style_emoticons/default/baby.gif)

я вас уже наверно замучила... (IMG:style_emoticons/default/flowers.gif)

Это одно и того же уравнение. Вообще подставлять лучше всего в исходное уравнение.

в исходное уравнение (x^2)y'+xy+1=0 подставила y=-((ln(x)/x)-(c2/x)).
получилось
(x^2)*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))'+x*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))+1=0

как вычислить вот эту производную (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=...?

исолзуя правила дифференцирования:
(u-v)'=u'-v'
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
(cu)'=c*u'

ПРИМЕРЫ

у меня получилось:
первое правило:
-(ln(x)/x)'-(c2/x)

второе правило:
-(((ln(x))'*x-ln(x)*(x)')/(x^2))

третье правило что-то не поняла (примеры смотрела)... (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

(-ln(x)/x-c2/x)'=-(ln(x)/x)'-(c2/x)'
Первое слагаемое по правилу (u/v)'=(u'v-uv')/v^2. Записуйте, чему в вашем случае равно u, чему v, подставляйте в формулу и находите производные.
Второе слагаемое: (c2/x)'=с2(1/х)'=c2*(x^(-1))'=...
Далее смотрите таблицу производных.

в моем случае u=ln(x)
v=x
подставляю -(ln(x)'*x-ln(x)*(x)')/x^2=-((1/x)*x-ln(x)*1)=-(1-ln(x))/x^2
правильно? (IMG:style_emoticons/default/mellow.gif)



(c2/x)'=с2(1/х)'=c2*(x^(-1))'=...с2*(-1*(x^(-1-1))*(x)'=-c2*(x^(-2))
правильно? (IMG:style_emoticons/default/mellow.gif)


в итоге получаем (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=-(((1-ln(x))/x^2)-(-c2*(x^(-2))))

верно или нет? (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

верно

похоже на правду, только после первого равно знаменатель потеряли (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

и теперь делаем, чтобы степень была положительной, т.е. -c2*(x^(-2))=-с2/x^2

вычислили производную (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=-(1-ln(x))/x^2-(-(c^2/x^2))=-(1-ln(x))/x^2+(c^2/x^2)



после вычисления производной получилось:
(x^2)*(-(1-ln(x))/x^2+(c^2/x^2))+x*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))+1=0

а дальше что делать? скобки раскрывать? (IMG:style_emoticons/default/dry.gif)

с^2 откуда получился?

да, и сводить подобный. В левой части должен получится 0.

sorry, там просто с2. опечатка

получилось:
x^2*(-(1-ln(x))/x^2)+x^2*((c2)/x^2)+x*(-ln(x)/x)-x*(c2/x)=0
-(1-ln(x))+c2-ln(x)-c2=0
-(1-ln(x))-ln(x)=0

а что дальше?

расскрывайте скобки, сводите подобные?
1 не потеряли нигде? Дописываю ее красным, посмотрите, она там есть?

да потеряла (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

-(1-ln(x))-ln(x)+1=0
-1+ln(x)-ln(x)+1=0
0=0

все? значит общее решение нашли правильно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
сейчас соберу все в одну кучу (IMG:style_emoticons/default/smile.gif) чтобы просматривающим было понятно (IMG:style_emoticons/default/thumbsup.gif)
огромное спасибо tig81 за помощь! (IMG:style_emoticons/default/baby.gif)

надеюсь, что да
(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

собранное решение: (IMG:style_emoticons/default/yes.gif)  Doc1.doc ( 65.5 килобайт ) Кол-во скачиваний: 208

1. Когда ищите dv. Правильнее будет написать:
dv/dx=v/x => dv/v=dx/x. И затем уже интегрировать.
2. После интегрирования:
lnv=-lnx+lnc
Минуса дальше не будет ,т.к. он пойдет в логарифм: -lnx=ln(1/x) => lnv=ln(1/x)+lnc=ln(c/x).
Т.е. дальше перепроверьте с учетом изменения знака.

П.С. Да, когда все перед глазами, "решается" просто (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)