Версия для печати темы

Автор: Nat111 13.2.2009, 15:19

Здравствуйте! Вот решаю контрольную. Сделала один пример. Пожалуйста подскажите правильно решила или где то ошибку допустила.

Задание: Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение:

Автор: граф Монте-Кристо 13.2.2009, 15:26

Неправильно.
Нужно разделить всё на x^2 и получится линейное неоднородное уравнение,которое просто решается.

Автор: tig81 13.2.2009, 15:27

Интересное у вас решение. Я бы сводила к http://www.reshebnik.ru/solutions/5/4.

Автор: Nat111 13.2.2009, 15:45

граф Монте-Кристо скажите пожалуйста. вот разделить всё на x^2 это до интеграла или после (какая по счету строчка)? спасибо за ранее.


просто я эти примеры года три не решала. все забылось :-(

Автор: tig81 13.2.2009, 15:52

вторая, если первая - это условие.


Ой, к графу Монте-Кристо был вопрос.

Автор: Nat111 13.2.2009, 15:53

спасибо tiq81 за ответ :-)


ну что-то у меня не получается. разучилась наверно уже делить :-(
x^2*(dy/dx)+xy+1=0 /x^2

(x^2/x^2)*((dy/dx)/x^2)+(xy/x^2)+1/x^2=0
dy/x^2dx+ y/x+1/x^2=0

правильно?

Автор: tig81 13.2.2009, 15:59

Ссылку еще посмотрите.

Автор: Nat111 13.2.2009, 17:26

посмотрите пожалуйста правильно?

Автор: tig81 13.2.2009, 17:34

Не поняла, как v находили... А также и u.

Автор: Nat111 13.2.2009, 17:38

я с политеховых тетрадок взяла.

v=e^(-integral p(x)dx) - это как бы вроде формула идет.
может за памятывала.

Автор: tig81 13.2.2009, 17:49

Хм...
Итак, получилось уравнение:
y'+y/x=-1/x^2
y=uv => y'=u'v+uv'
u'v+uv'+uv/x=-1/x^2
u'v+u(v'+v/x)=-1/x^2
v'+v/x=0 - отсюда находим v.
u:u'v=-1/x^2

Автор: Nat111 13.2.2009, 18:23

извините пожалуйста за туго соображаемость, но я не могу понять как из того уравнения найти V.

Автор: tig81 13.2.2009, 18:27

Это уравнение с http://www.reshebnik.ru/solutions/5/1

Автор: Nat111 13.2.2009, 18:41

вот так:
v'+v/x=0
=> v'=dv/dx

а это надо?
dv/dx+v/x=0
dv/dx=v/x /*dx
dv=(v/x)dx
интеграл dv=интеграл (v/x)dx

Автор: tig81 13.2.2009, 18:57

это кто вам такое сказал. v - это функция от х, т.е. v'=dv/dx.

Автор: Nat111 13.2.2009, 19:05

т.е

Автор: tig81 13.2.2009, 19:12

ну конечно, уравнение ведь решить надо

посмотрите, потеряли знак.

слева должно быть только v, а справа - х. Поэтому левую и правую часть делим на v, т.е. разделяем переменные. Вы по ссылочке ходили? Там аналогичное уравнение рассматривается.

Автор: Nat111 13.2.2009, 19:20

здесь наверно тоже я знак потеряла?
dv=- (v/x)dx
интеграл dv= - интеграл (v/x)dx

да по ссылочке ходила. вот по тому примеру примерно сообразила как решать. я только с du перепутала. заместо du надо было dx.

Автор: tig81 13.2.2009, 19:29

ну да.
только правильно разделите переменные.

Автор: Nat111 13.2.2009, 19:55

а прежде чем переменные делить, надо же из интеграла вытащить?
тогда первый интеграл будет равняться V
а второй -ln(x)?

Автор: tig81 13.2.2009, 20:00

Вы переменные вначале разделите, а уже потом интегрируйте.

Автор: Nat111 13.2.2009, 20:12

правильно разделила?

интеграл dv=- интеграл (v/x)dx /v
интеграл dv/v=- интеграл ((v/x)/v)dx
интеграл dv/v=- интеграл dx/x

интегрируем:
ln(v)+c=-(ln(x)+c)

Автор: tig81 13.2.2009, 20:14

Разделили верно, но интеграл нашли неправильно.
П.С. интеграл лучше пишите int, букв по-меньше.

http://www.reshebnik.ru/solutions/4/formula/

Автор: Nat111 13.2.2009, 20:16

интегрируем:

ln(v)+c=-(ln(x)+c)

Автор: tig81 13.2.2009, 20:18

Лучше так записать:
ln(v)=-ln(x)+lnc => lnv=lnc/x => v=c/x.
Находите далее u.

Автор: Nat111 13.2.2009, 20:32

U находим из этого уравнения:
u'v=-1/(x)^2

тогда следует что это уравнение должны разделить на V чтобы избавится в левой части от V.
получается:
u'=1/((x)^2v)

так?

Автор: tig81 13.2.2009, 20:38

так, но выше было найдено, что

Подставляйте и разделяйте переменные.

Автор: Nat111 13.2.2009, 20:44

в уравнение:
u'=1/(x^2*v)

подставляем v=c/x

получаем:
u'=1/(x^2*(с/х))

а как разделить?

Автор: tig81 13.2.2009, 20:53

u'=du/dx, в правой части преобразовываем:
1/(x^2*(с/х))=1/(сх).

Автор: Nat111 13.2.2009, 21:07

du/dx=1/(сх)

так что ли?

Автор: tig81 13.2.2009, 21:42

ну конечно. Разделяйте теперь переменные.

Автор: Nat111 14.2.2009, 5:23

для этого надо чтобы в левой части осталось U, а в правой Х?
тогда получаем
du=(1/(cx)/dx
du=ln(x)dx+c

правильно?

Автор: tig81 14.2.2009, 6:49

почему dx в знаменателе?
Должно получиться следущее: du=dx/(cx)

это что такое?
Интегрируем левую и правую часть полученного равенства:
intdu=intdx/(cx)
...

Автор: Nat111 15.2.2009, 8:29

получается:
u+c=-ln(cx)
u=-ln(cx)-c

так?

Автор: tig81 15.2.2009, 8:36

intdu=intdx/(cx)
u=(1/c)int(dx/x)=(1/c)*lnx+c1

Автор: Nat111 15.2.2009, 8:46

опять не правильно
мы кажется минусы пропустили?

теперь находим уравнение для общего решения?
куда u и v подставляем в формулу y=uv?

Автор: tig81 15.2.2009, 9:48

кажется да...

да, теерь находите у, зная u и v.

Автор: Nat111 15.2.2009, 9:53

я сейчас просматривала полностью решение и кажется что мы еще вот здесь пропустили минус.
v=c/x

должно быть v=-c/x
тогда u у нас получается со знаком "+"

Автор: tig81 15.2.2009, 9:57

возможно... Найдите у и сделайте проверку, подставив его в заданное дифференциальное уравнение. Также аккуратно еще раз выпишите все решение (т.к. мы его записывали кусками и могли что-то потерять).

Автор: Nat111 15.2.2009, 10:24

где
u=(1/c)*ln(x)+c1
v=-(c/x)

подставляем
y=((1/c)*ln(x)+c1)*(-(c/x))

раскрываем скобки
y=(((1/c)*ln(x))*(-(c/x)))+(c1*(-(c/x)))

в первой скобке получилось
(((1/c)*ln(x))*(-(c/x)))=-((1/x)*ln(x))

а во второй что получится?

между двумя скобками будет знак "-".

Автор: tig81 15.2.2009, 10:27

т.е. -lnx/x

c1*(-c/x)=-(c1*c)/x=-c2/x, где с2=с1*с.

Автор: Nat111 15.2.2009, 10:48

в общем "общее решение дифференциального уравнения" получается

y=-((lnx/x)-(c2/x)).

а вот проверку делать найденный у подставлять в самое первоначальное уравнение ((x^2)*y'+xy+1=0)?
или в то уравнение (y'+(y/x)+(1/(x^2))=0) которое получилось когда первоначальное поделили на (x^2)?

я вас уже наверно замучила...

Автор: Тролль 15.2.2009, 12:16

Это одно и того же уравнение. Вообще подставлять лучше всего в исходное уравнение.

Автор: Nat111 15.2.2009, 12:25

в исходное уравнение (x^2)y'+xy+1=0 подставила y=-((ln(x)/x)-(c2/x)).
получилось
(x^2)*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))'+x*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))+1=0

как вычислить вот эту производную (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=...?

Автор: tig81 15.2.2009, 12:50

исолзуя правила дифференцирования:
(u-v)'=u'-v'
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
(cu)'=c*u'

http://www.reshebnik.ru/solutions/2/

Автор: Nat111 15.2.2009, 13:14

у меня получилось:
первое правило:
-(ln(x)/x)'-(c2/x)

второе правило:
-(((ln(x))'*x-ln(x)*(x)')/(x^2))

третье правило что-то не поняла (примеры смотрела)...

Автор: tig81 15.2.2009, 13:22

(-ln(x)/x-c2/x)'=-(ln(x)/x)'-(c2/x)'
Первое слагаемое по правилу (u/v)'=(u'v-uv')/v^2. Записуйте, чему в вашем случае равно u, чему v, подставляйте в формулу и находите производные.
Второе слагаемое: (c2/x)'=с2(1/х)'=c2*(x^(-1))'=...
Далее смотрите таблицу производных.

Автор: Nat111 15.2.2009, 14:02

в моем случае u=ln(x)
v=x
подставляю -(ln(x)'*x-ln(x)*(x)')/x^2=-((1/x)*x-ln(x)*1)=-(1-ln(x))/x^2
правильно?



(c2/x)'=с2(1/х)'=c2*(x^(-1))'=...с2*(-1*(x^(-1-1))*(x)'=-c2*(x^(-2))
правильно?


в итоге получаем (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=-(((1-ln(x))/x^2)-(-c2*(x^(-2))))

верно или нет?

Автор: tig81 15.2.2009, 14:34

верно

похоже на правду, только после первого равно знаменатель потеряли

и теперь делаем, чтобы степень была положительной, т.е. -c2*(x^(-2))=-с2/x^2

Автор: Nat111 15.2.2009, 14:46

вычислили производную (-((ln(x)/x)-(c2/x)))'=-(1-ln(x))/x^2-(-(c^2/x^2))=-(1-ln(x))/x^2+(c^2/x^2)



после вычисления производной получилось:
(x^2)*(-(1-ln(x))/x^2+(c^2/x^2))+x*(-((ln(x)/x)-(c2/x)))+1=0

а дальше что делать? скобки раскрывать?

Автор: tig81 15.2.2009, 14:55

с^2 откуда получился?

да, и сводить подобный. В левой части должен получится 0.

Автор: Nat111 15.2.2009, 14:57

sorry, там просто с2. опечатка

Автор: Nat111 15.2.2009, 15:09

получилось:
x^2*(-(1-ln(x))/x^2)+x^2*((c2)/x^2)+x*(-ln(x)/x)-x*(c2/x)=0
-(1-ln(x))+c2-ln(x)-c2=0
-(1-ln(x))-ln(x)=0

а что дальше?

Автор: tig81 15.2.2009, 15:15

расскрывайте скобки, сводите подобные?
1 не потеряли нигде? Дописываю ее красным, посмотрите, она там есть?

Автор: Nat111 15.2.2009, 15:24

да потеряла

-(1-ln(x))-ln(x)+1=0
-1+ln(x)-ln(x)+1=0
0=0

все? значит общее решение нашли правильно?
сейчас соберу все в одну кучу чтобы просматривающим было понятно
огромное спасибо tig81 за помощь!

Автор: tig81 15.2.2009, 15:33

надеюсь, что да

Автор: Nat111 15.2.2009, 17:16

собранное решение:  Doc1.doc ( 65.5 килобайт ) Кол-во скачиваний: 199

Автор: tig81 15.2.2009, 17:28

1. Когда ищите dv. Правильнее будет написать:
dv/dx=v/x => dv/v=dx/x. И затем уже интегрировать.
2. После интегрирования:
lnv=-lnx+lnc
Минуса дальше не будет ,т.к. он пойдет в логарифм: -lnx=ln(1/x) => lnv=ln(1/x)+lnc=ln(c/x).
Т.е. дальше перепроверьте с учетом изменения знака.

П.С. Да, когда все перед глазами, "решается" просто