Дана цепь Маркова с множеством состояний {1, 2, 3}, матрицей переходных вероятностей (Pij) и стационартным распределением ПИj. Показать, что ели P11=P22=P33=0 и ПИ1=ПИ2=ПИ3=1/3, то P12=P23=P31 и P13=P21=P32.

Логично было бы сказать, что элементы вектора ПИ - совственные значения матрицы Р и пытаься составить какие-то уравнения. Может я и туплю где-то, но у меня это чет не очень получается...

В последнем равенстве, наверное, P13=...
Используйте равенство ПИ^T * P = ПИ вместе с условием, что матрица P является стохастической, т.е. сумма вероятностей по любой строке =1.

Т - это что такое???

да, там Р13, прошу прощения за опечатку.

Транспонирование вектора-столбца.

ясно
в итоге мы получаем ПИ*Р=(1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) и как бы все, что мы можем получить от перемножения:(

Вообще-то мы систему уравнений должны получить.

это понятно, но в итоге мы получаем 3 уравнения и 6 переменных

Похоже, неумение читать становится проблемой не только в США:

итак, берем ПИ^T и умножаем на матрицу, в итоге получаем ПИ.
(1/3, 1/3, 1/3) * P = столбец ПИ
получаем, что строка равна столбцу!!!

Ну пусть ПИ^T * P = ПИ^T. Вы задачу-то будете решать?

Конечно. Уже решаю.
после перемножения столбца на матрицу получили, что столбец, т.е. результат произведения равен столбцу ПИ.
получили вот такой столбец:
1/3*(P12+P13)
1/3*(P21+P23)
1/3*(P31+P32)
даже, если мы учтем то, что у нас в матрице эелементы одной строки в сумме дают 1 это нам ничего не даст. Что я делаю не так???

Скажите пожалуйста, являются ли элементы вектора ПИ, который является стационарным распределением, собственными значениями матрицы переходных состояний. У меня не очень получается решить, так как Вы сказали, и поэтому я решил попробовать другим методом. Исходя из того, что по сути я написал в вопросе ищем собственные значения матрицы Р, получаем уравнение 3 степени относительно лямбда и приравниваем его к 0. А вот дальше можно сказать, что якобы требуемое условие выполняется и обозначить равные элементы например за а и в, но в итоге получил уравнение 2-й степени (воспользовавшись свойством а=(1-в)), но это уравнение не имеет корней, т.к. дискриминант меньше 0. Поэтому я прошу Вас подтвердить или опровергнуть мое предположение относительно элементов вектора ПИ и собств значениями матрицы.

Вы до сих пор не составили систему уравнений. Не буду повторять, какую, уже трижды повторено.

Нет, НЕ являются.

ПИ^T*Р=(1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) и, как я понимаю, приравниваем к ПИ^Т, т.е. к вектору (1/3, 1/3 , 1/3), отсюда можно сделать вывод, что, например, 1-й элемент 1-го вектора равен 1-му элементу 2-го вектора, т.е сначала мы получили равенство: (1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) = (1/3, 1/3 , 1/3), затем приравниваем элементы и получаем систему:
P12+P31=1
P21+P32=1
P13+P23=1
так???

Вы неправильно умножили вектор на матрицу. Как выглядит матрица переходных вероятностей? Вы её транспонировали зачем-то.

Впрочем, это не очень важно, если оставшиеся три уравнения напишете для той же матрицы. Так где ещё три уравнения?

т.е. вот эти:
Р12+Р13=1
Р21+Р23=1
Р31+Р32=1

Та-а-ак. Матрицу P в студию.

0 P12 P13
P21 0 P23
P31 P32 0

Замечательно, теперь при мне умножайте

Это можете?