Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в обычном формате
Образовательный студенческий форум _ Теория вероятностей _ Помогите решаить задачу по цепям Маркова
Автор: ustas 20.1.2009, 14:13
Дана цепь Маркова с множеством состояний {1, 2, 3}, матрицей переходных вероятностей (Pij) и стационартным распределением ПИj. Показать, что ели P11=P22=P33=0 и ПИ1=ПИ2=ПИ3=1/3, то P12=P23=P31 и P13=P21=P32.
Логично было бы сказать, что элементы вектора ПИ - совственные значения матрицы Р и пытаься составить какие-то уравнения. Может я и туплю где-то, но у меня это чет не очень получается...
Автор: malkolm 20.1.2009, 16:49
В последнем равенстве, наверное, P13=...
Используйте равенство ПИ^T * P = ПИ вместе с условием, что матрица P является стохастической, т.е. сумма вероятностей по любой строке =1.
Автор: ustas 20.1.2009, 17:01
Т - это что такое???
да, там Р13, прошу прощения за опечатку.
Автор: malkolm 20.1.2009, 17:08
Транспонирование вектора-столбца.
Автор: ustas 20.1.2009, 17:13
ясно
в итоге мы получаем ПИ*Р=(1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) и как бы все, что мы можем получить от перемножения:(
Автор: malkolm 20.1.2009, 17:56
Вообще-то мы систему уравнений должны получить.
Автор: ustas 20.1.2009, 18:14
это понятно, но в итоге мы получаем 3 уравнения и 6 переменных
Автор: malkolm 20.1.2009, 18:37
это понятно, но в итоге мы получаем 3 уравнения и 6 переменных
Похоже, неумение читать становится проблемой не только в США:
В последнем равенстве, наверное, P13=...
Используйте равенство ПИ^T * P = ПИ вместе с условием, что матрица P является стохастической, т.е. сумма вероятностей по любой строке =1.
Автор: ustas 20.1.2009, 19:04
итак, берем ПИ^T и умножаем на матрицу, в итоге получаем ПИ.
(1/3, 1/3, 1/3) * P = столбец ПИ
получаем, что строка равна столбцу!!!
Автор: malkolm 20.1.2009, 19:27
Ну пусть ПИ^T * P = ПИ^T. Вы задачу-то будете решать?
Автор: ustas 20.1.2009, 19:44
Конечно. Уже решаю.
после перемножения столбца на матрицу получили, что столбец, т.е. результат произведения равен столбцу ПИ.
получили вот такой столбец:
1/3*(P12+P13)
1/3*(P21+P23)
1/3*(P31+P32)
даже, если мы учтем то, что у нас в матрице эелементы одной строки в сумме дают 1 это нам ничего не даст. Что я делаю не так???
Автор: ustas 20.1.2009, 21:39
Скажите пожалуйста, являются ли элементы вектора ПИ, который является стационарным распределением, собственными значениями матрицы переходных состояний. У меня не очень получается решить, так как Вы сказали, и поэтому я решил попробовать другим методом. Исходя из того, что по сути я написал в вопросе ищем собственные значения матрицы Р, получаем уравнение 3 степени относительно лямбда и приравниваем его к 0. А вот дальше можно сказать, что якобы требуемое условие выполняется и обозначить равные элементы например за а и в, но в итоге получил уравнение 2-й степени (воспользовавшись свойством а=(1-в)), но это уравнение не имеет корней, т.к. дискриминант меньше 0. Поэтому я прошу Вас подтвердить или опровергнуть мое предположение относительно элементов вектора ПИ и собств значениями матрицы.
Автор: malkolm 20.1.2009, 21:48
Что я делаю не так???
Вы до сих пор не составили систему уравнений. Не буду повторять, какую, уже трижды повторено.
Автор: malkolm 20.1.2009, 22:36
Скажите пожалуйста, являются ли элементы вектора ПИ, который является стационарным распределением, собственными значениями матрицы переходных состояний.
Нет, НЕ являются.
Автор: ustas 20.1.2009, 22:54
ПИ^T*Р=(1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) и, как я понимаю, приравниваем к ПИ^Т, т.е. к вектору (1/3, 1/3 , 1/3), отсюда можно сделать вывод, что, например, 1-й элемент 1-го вектора равен 1-му элементу 2-го вектора, т.е сначала мы получили равенство: (1/3*(P12+P31);1/3*(P21+P32);1/3*(P13+P23)) = (1/3, 1/3 , 1/3), затем приравниваем элементы и получаем систему:
P12+P31=1
P21+P32=1
P13+P23=1
так???
Автор: malkolm 20.1.2009, 22:55
Вы неправильно умножили вектор на матрицу. Как выглядит матрица переходных вероятностей? Вы её транспонировали зачем-то.
Впрочем, это не очень важно, если оставшиеся три уравнения напишете для той же матрицы. Так где ещё три уравнения?
Автор: ustas 20.1.2009, 23:08
т.е. вот эти:
Р12+Р13=1
Р21+Р23=1
Р31+Р32=1
Автор: malkolm 20.1.2009, 23:10
Та-а-ак. Матрицу P в студию.
Автор: ustas 20.1.2009, 23:22
0 P12 P13
P21 0 P23
P31 P32 0
Автор: malkolm 20.1.2009, 23:31
0 P12 P13
P21 0 P23
P31 P32 0
Замечательно, теперь при мне умножайте
( P21 0 P23 )
( P31 P32 0 )
Это можете?
Автор: ustas 20.1.2009, 23:39
если вышенаписанное верно, то, решив систему, получим, что все элементы матрицы Р, кроме тех, что на диагонали ( по условию они равны 0) равны 0,5
Умножаем строку на столбец:
получаем - (1/3*0+1/3*P21+1/3*P31; 1/3*P12+1/3*0+1/3*P32; 1/3*P13+1/3*P23+1/3*0)
вроде так.
Автор: malkolm 20.1.2009, 23:44
если вышенаписанное верно, то, решив систему, получим, что все элементы матрицы Р, кроме тех, что на диагонали ( по условию они равны 0) равны 0,5
Откуда это??
Умножаем строку на столбец:
получаем - (1/3*0+1/3*P21+1/3*P31; 1/3*P12+1/3*0+1/3*P32; 1/3*P13+1/3*P23+1/3*0)
вроде так.
Да. Теперь уже составьте наконец систему из 6 уравнений и докажите то, что требуется.
Автор: ustas 20.1.2009, 23:52
получим систему:
Р12+Р31=1
Р21+Р32=1
Р13+Р23=1
Р12+Р13=1
Р21+Р23=1
Р31+Р32=1
так???
1/3*0+1/3*P21+1/3*P31= 1/3
1/3*P12+1/3*0+1/3*P32=1/3
1/3*P13+1/3*P23+1/3*0=1/3
как я понял, после умножения мы можем приравнять соответсвующие элементы векторов.
сократив на 1/3 получаем:
P21+P31= 1
P12+P32=1
P13+P23=1
это первые 3 уравнения системы.
Автор: malkolm 20.1.2009, 23:56
получим систему:
Р12+Р31=1
Р21+Р32=1
Р13+Р23=1
Р12+Р13=1
Р21+Р23=1
Р31+Р32=1
так???
НЕТ! Вы что, накурены? Не можете вектор, только что полученный, правильно записать? Откуда первые три уравенения взялись?
Какой осёл, молодые люди, посоветовал вам обоим пойти в инженеры? Вы же элементарную инструкцию для дебилов выполнить не можете.
Автор: ustas 21.1.2009, 0:13
(1/3*0+1/3*P21+1/3*P31; 1/3*P12+1/3*0+1/3*P32; 1/3*P13+1/3*P23+1/3*0) = (1/3, 1/3, 1/3) по тому условию, что Вы написали в самом начале. И первые уравнения взялись именно отсюда!!!
т.е. я приравнял 1-й элемент вектора, который слева от знака "=" к первому элементу вектора, который стоит справа от знака "=". и так с каждым элементом. и так получил первые три уравнения.
Автор: malkolm 21.1.2009, 0:25
(1/3*0+1/3*P21+1/3*P31; 1/3*P12+1/3*0+1/3*P32; 1/3*P13+1/3*P23+1/3*0) = (1/3, 1/3, 1/3) по тому условию, что Вы написали в самом начале. И первые уравнения взялись именно отсюда!!!
т.е. я приравнял 1-й элемент вектора, который слева от знака "=" к первому элементу вектора, который стоит справа от знака "=". и так с каждым элементом. и так получил первые три уравнения.
получим систему:
Р12+Р31=1
Р21+Р32=1
Р13+Р23=1
Всё, извините, хватит. Можете показать решение, я скажу "да" или "нет". Учить буковки писать - в детский сад.
Автор: ustas 21.1.2009, 0:49
система выглядит так:
Р21+Р31=1
Р12+Р32=1
Р13+Р23=1
Р12+Р13=1
Р21+Р23=1
Р31+Р32=1
и соответственно
из 2-го и 4-го уравнения: Р13=Р32
из 1-го и 5-го уравнения: Р23=Р31
из 3-го и 5-го уравнения: Р13=Р21
из 2-го и 6-го уравнения: Р12=Р31
следовательно мы доказали то, что требовалось, т.е.
Р12=Р23=Р31
Р13=Р21=Р32
теперь правильно?
Автор: malkolm 21.1.2009, 7:13
Теперь абсолютно правильно, молодец.
Автор: ustas 21.1.2009, 8:37
Спасибо за терпение!!! Вы мне очень помогли!!!
Русская версия Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)