Задача №2766 : Пусть Fn(x) = [сумма(по i от нуля до n-1)((1/n)*F(x+i/n))], здесь Fn - функциональная последовательность. F(x) - непрерывная на (-inf,+inf) функция. Доказать, что последовательность Fn(x) сходится равномерно на любом конечном сегменте [a,b].

Я так полагаю, что каждый член последовательности является интегральной суммой, предел последовательности существует => существует предел интегральной суммы => функция интегрируема(непрерывна по условию)... Теперь пытаюсь связать все это с равномерной сходимостью:) не понимаю как.

lim(Fn(x)) при n->inf равен интегралу от 0 до 1 (F(x+t)dt),
то есть последовательность сходится к этому интегралу, интеграл можно представить в виде суммы интегралов, теперь по определению, найти sup разности Fn(x) и суммы интегралов, на любом конечном сегменте, причем подозреваю,что единичной длины... Далее предел супремума?