помогите пожалуйста сосчитать предел если не сложно:
lim(x →∞)[(1+xsin(x-1))^1/2]/[e^(x^2)-1]

У меня такой вариант решения:

Обозначим а=(1+xsin(x-1))^1/2]/[e^(x^2)-1]. Заметим, что в числителе под корнем стоит 1+xsin[x-1]. В любой окрестности бесконечности функция бесконечное число раз становится отрицательной, корень из отрицательного числа мнимый< значит мнимый и предел.

Посчитаем предел от Module[a].
0<=Module[a]<=Module[x^1/2]/(e^(x^2)-1). Воспользуемся свойством очевидным для ряда Тейлора экспоненты: e^x<=1+x.

Окончательно: 0<=Module[a]<=Module[x^1/2]/Module[x^2]. В последнем выражении можно поставить в знаменателе модель, т к x->Infinite. По теореме о 2 ментах получим: Lim{x->Infinite}Module[a]=0.

Вспоминаем из ТФКП, что из Lim{x->Infinite}Module[a]=0 следует Lim{x->Infinite}(a)=0

Как-то так


Опечатка: e^x>=1+x при x>0

спасибо что уделил внимание) извини пожалуйста, но непоняла откуда взял что функция под корнем будет отрицательной. я вот думаю может попробовать по правилу Лапиталя взять производные? может из этого как то лучше исходить? пробовала конечно брать производные но получается что приходиться правило повторять по второму кругу и там тоже выходит какая то охинея((

Вот смотри почему под корнем минус: x- очень большой, x-1 попадает в интервал (пи*n/2+1 ,пи*n+1) при некотором n, а sin[x-1] на этом интервале отрицателен. Получается очень большое число умножается на отрицательноеи вычитается из единицы- получаетяс отрицательное. По Лопиталю не знаю можно ли все- таки он работает для действительно значных функций. Можно попробовать если тебе надо таким способом разложить в ряд Лорана в окрестности бесконечности и пользуясь регулярностью и равномерной сходимостью в кольце перейти к пределу под знаком суммы. В принципе то что янаписал до этого правильно и проще.

спасибо огромное. просто нам преподаватель говорил что целесообразнее решать по правилу лапиталя. я вот попробовала но чтото не то по моему. еще раз огромное спасибо) :*

а где написано ваше решение? Надо было его привести.

уже ненадо спасибо огромное за помощь но сама разабралась а если вам нужно мое решение в качестве примера то выложу.

надо было сразу выкладывать, тогда бы и темы ваши не закрывались (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)