Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, решить следующие задания:
1) Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств
L1 = < a1, a2, a3 > и L2 = < b1, b2, b3 > , если :
a1 = (1, 2, 1)T b1= (2, 3, -1)T
a2 = (1, 1, -1)T b2 = (1, 2, 2T
a3 = (1, 3, 3)T b3 = (1, 1, - 3)T


2). Разложить вектор X на сумму двух векторов, один из которых лежит в подпространстве, натянутом на векторы a1, a2, a3 , а другой ортогонален к этому подпространству.
X = (-3, 5, 9, 3) T

a1 = (1, 1, 1, 1) T a2 = (2, - 1, 1, 1) T a3 = (2, - 7, - 1, - 1) T

Спасибо вам огромное!!!

Пожалуйста.
П.С. Что касается второго задания, посмотрите там же (стр.72). И посмотрите еще информацию по этой теме.

А можно, если я не пойму, у вас спросить?

(IMG:style_emoticons/default/yes.gif)

У меня во второй задаче получился ранг системы равен 2, базис (a1,a2), а дальше я в затруднении. Не понимаю, как найти элементы матрицы Грама. Если вам не трудно, подскажите, пожалуйста.

например, элемент е11 матрицы Грама равен:
е11=(а1,а1), т.е. скалярному произведению вектора а1 на вектор а1.
Аналогично находите е12, е21 и е22.

Спасибо.
У меня получилось e11=4, e12=e21=3, e22=7
Элементы столбца свободных членов b1=14, b=1
...
y1=5 y2=-2
А дальше вы мне не подскажите?

искомый вектор у=у1*а1+у2*а2=...

y=(1,7,3,3) Но ведь в задании было разложить вектор x на сумму 2 векторов, а у нас тока один

смотрим теперь третье определение на странице 72:
х=y+z => z=x-y.
Для проверки: вектор z должен быть ортогональным вектору у (т.е. их скалярное произведение должно равняться нулю).

И еще я здесь между делом решила 4 задачу :
Линейный оператор φ переводит векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1, b2, b3.
Найти матрицу оператора φ в том же базисе, в котором заданы координатами все векторы:
a1 = (1, 2, -3) T a2 = (0, 1, 2) T a3 = (1, 0, 4) T
b1= (1, 1, 1) T b2 = (1, 2, 1) T b3 = (0, 1, 1) T

Вы не посмотрите?
Вот решение:
как на странице 53
составила уравнения, нашла коэффициенты, в итоге матрица

5 7 1
1 8 9 умножить на 1/11
6 4 1

Все посчитала, скалярное произведение равно 0.
Спасибо большое!!!!!!!!

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)


Вроде все верно, только элемент а[3,3] у меня получился -1.

и у меня

Я так рада, целых три задачи решили!!!!!!!!! Спасибо вам, спасибо (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
А вот третью и пятую я в методичке не нашла. Вы не подскажите?

(IMG:style_emoticons/default/blink.gif) В условии речь шла только о двух. Какое условие у 3 и 5 задачи? Т.к. в первом сообщении были только задачи под номерами 1 и 2.

3) Если линейный оператор φ , действующий в пространстве L n , имеет n линейно независимых собственных векторов e1, e2, … en, соответствующих собственным числам λ1, λ2, …..λn, то в базисе из этих векторов матрица оператора имеет диагональный вид с диагональными элементами, равными собственным числам.
Для заданной матрицы оператора найти этот базис и соответствующую ему диагональную форму матрицы.
матрица:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 1 7 -1

Находите собсвенные значения и собственные векторы данной матрицы.
Далее записуете матрицу В, по столбцам котрой записаны координаты собственных векторов.
Искомый диагональный вид: А'=B^(-1)*A*B.
Проверка: должна получиться диаональная матрица, на главной диагонали которой будут стоять собственные значения.

Не знаю как посчитать определитель матрицы 4x4. Нашла даже примерчик, но не понимаю, как они сделали пример

Вы мне не подскажите?

А какой у Вас определитель?

матрица:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
-6 1 7 -1
Получается, что надо найти определитель:
-λ 1 0 0
0 -λ 1 0
0 0 -λ 1
-6 1 7 -1-λ