Условие: Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x) , найти плотность вероятности.

F(x) = 0, при х≤-0,5
-2х+1 при х -0,5<х ≤ 1
3 - знаменатель
1, при х >1
плотностью вероятности называют первую производную от функции распределения f (х) и F' (х)
у меня :
f(х)= F' (х) = 0, при при х≤-0,5
-2/3, при х -0,5<х ≤ 1
0, при х >1
подскажите, правильно ли решение

Ну если в знаменателе надо делить на 3, то плотность найдена верно.

спасибо большое. а вы не подскажите математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что Х примет значение в интервале
(1/2; 1) находить исходя из полученной системы или той, что была задана изначально? и еще по формуле мат. ожидания не пойму немного как посчитать правильно.

Для расчета вероятности попадания в интервал можно использовать или функцию распределения F(X) или плотность распределения f(x), кому как удобнее. Мне через функцию распределения больше нравится.

Математическое ожидание и дисперсия находится через плотность распределения.
Для нахождения М(Х) надо взять интеграл x*f(x) (на всем R)
Ну а дисперсию ищите через разность второго момента и квадрата М(Х)
D(X)=M(X^2) - М(Х)^2

спасибо. подскажите, в моем случае математическое ожидание будет
∫ -2/3dx = -2/3х+const ?

Нет.
Я же писала от чего надо брать интеграл и по каким границам
x*f(x)
границы (-оо; +оо)

Математическое ожидание это конкретное число!