Подскажите как надо решать задачу:
Условие: Шарик массой m, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Угол отклонения нити в крайнем положении равен альфа.Определите силу натяжения нити в нижнем положении.

В крайнем положении центростремительное ускорение будет равно нулю, и вклад в полное ускорение будет давать только тангенциальная составляющая, обусловленная силой тяжести, которая возвращает тело обратно в положение равновесия. В нижней точке наоборот, ускорение будет только нормальное. В крайнем положении запишите уравнение движения на касательную к траектории:
ma=mg*sin(alfa)
В нижнем на нормаль к траектории
ma=T-mg
Решаем систему, находим T.

Аккуратней формулируйте свои мысли.
В крайнем положении тангенциальная составляющая ускорения, обусловленная равнодействующей двух сил: силы тяжести и силы натяжения нити. Это следует из II закона Ньютона, т.к. эта составляющая равна польному ускорению (согласно вашим слов "вклад в полное ускорение будет давать только тангенциальная составляющая").
В результате действия только силы тяжести тело свободно падает вниз с ускорением свободного падения. В данной задачи это возможно, только если это возможно максимальный угол отклонения тела от вертикали равен 90 град.
Надеюсь теперь понятно, что следующая фраза также неверна " ...обусловленная силой тяжести, которая возвращает тело обратно в положение равновесия ". В одиночку сила тяжести (направленная вертикально вниз) не может вернуть тело в положение равновесие.

Будьте внимательны, с уважением Влад!

Не понял вас немного. В крайнем положении ускорения по нормали нет, так как вся энергия перешла в потенциальную, а значит и скорость V=0, т.е. a(n)=V^2/R=0. Значит полное ускорение равно a=a(t) - тангенциальному. Второй закон Ньютона и используем. С телом связываем сопровождающую систему отсчета, пишем уравнение движения в проекции на касательную к траектории. Так что я имел ввиду как раз то, что написал. Нету вклада нормального ускорения в крайнем положении. Только из-за касательного тело начинает двигаться обратно к положению, в котором потенциальная энергия минимальна. Говоря о силе тяжести, я вообщем-то говорил целиком о поле, о том что поле тяжести - потенциальное, положение равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии, а значит тело возвращается в это положение из крайнего.

У Вас написано

"В крайнем положении центростремительное ускорение будет равно нулю, и вклад в полное ускорение будет давать только тангенциальная составляющая, обусловленная силой тяжести, которая возвращает тело обратно в положение равновесия."

В этой фразе две ошибки. На которые я и указал.

С уважением, Влад

Ошибок тут нет, я все объяснил. Может запятые проверите?