IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> y'=cosx + y^2
dm1dm
сообщение 6.12.2009, 18:38
Сообщение #1


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=cosx + y^2, удовлетворяющего начальному условию y(0)=1
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 6.12.2009, 18:44
Сообщение #2


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



примеры смотрели?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 6.12.2009, 19:06
Сообщение #3


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



да, но решить пока не получилось (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 6.12.2009, 19:10
Сообщение #4


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



Выкладывайте то, что получилось.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 11.12.2009, 7:03
Сообщение #5


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



Решаем однородное уравнение
y'-y^2=0
y'=y^2
dy/dx=y^2
dy/y^2=dx
-1/y=x+C
y=-1/(x+C)
Находим частное решение
y1=Acosx+Bsinx
y1'=-Asinx+Bcosx
-Asinx+Bcosx-A(cosx)^2-B(sinx)^2=cosx
B=1
Общее решение
y=-1/(x+С)+cosx

Это правильно?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 11.12.2009, 8:05
Сообщение #6


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



нет, неправильно. В задании написано использовать разложение в ряд
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 11.12.2009, 9:51
Сообщение #7


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



Ну там же сначала надо найти решение уравнения. Оно у меня неправильное?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 11.12.2009, 10:39
Сообщение #8


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Никто Вас не просит найти решение этого уравнения. Я вообще сомневаюсь,что его можно решить. Но Вам-то не точное решение нужно,а его разложение в степенной ряд.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 11.12.2009, 11:01
Сообщение #9


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 11.12.2009, 11:11
Сообщение #10


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Да, но для этого необязательно находить само решение,а потом его ещё и в ряд раскладывать.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 11.12.2009, 11:16
Сообщение #11


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



тогда я не пойму, что надо сделать
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 11.12.2009, 11:21
Сообщение #12


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Как выглядит степенной ряд?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 11.12.2009, 11:25
Сообщение #13


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



а0+а1(х-а)+а2(х-а)^2+...+an(x-a)^n+...
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 11.12.2009, 11:32
Сообщение #14


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Верно. Коэффициенты a_k определены причём единственным образом. Как?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 11.12.2009, 11:37
Сообщение #15


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



y(0)=1, значит а=1, или я что-то не так понял?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 11.12.2009, 11:47
Сообщение #16


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Искомый степенной ряд будет рядом Маклорена для решения данного уравнения,а все коэффициенты в нём равны
a_k=f^(k)(0)/(k!),
f^(k)(0) - значение k-той производной в точке x=0.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 11.12.2009, 11:57
Сообщение #17


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



Кажется понял
y'=cosx+y^2
y''=-sinx +2yy'
y'''=-cosx+2yy''+2(y')^2
y''''=sinx+2yy'''+6y'y''
y'''''=cosx+2yy''''+8y'y''''+6(y'')^2

y(0)=1
y'(0)=2
y''(0)=2
y'''(0)=11

тогда
y=1+2x/1!+2x^2/2!+...=1+2x+x^2

так?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
граф Монте-Кристо
сообщение 11.12.2009, 12:09
Сообщение #18


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 840
Регистрация: 27.9.2007
Из: Старый Оскол
Город: Москва
Учебное заведение: МФТИ/МАИ
Вы: другое



Правильно,только y'''(0)=3.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
dm1dm
сообщение 11.12.2009, 12:13
Сообщение #19


Школьник
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 11
Регистрация: 6.12.2009
Город: Котово
Вы: другое



Спасибо за помощь!
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 28.3.2024, 20:14

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru