Сделал систему уравнений, метод исключения:
y'=2y-4z
z'=y-3z+e^x

далее я выразил из 2-го уравнения у:
-у=-z'-3z+e^x
y=z'+3z-e^x
тогда нашёл производную и подставил её в 1-ое уравнение:
y'=z''+3z'-e^x

z''+3z'-e^x=2y-4z
z''+3z'+4z=2y-e^x

нашёл характеристическое уравнение,
если
z=e^kx
z'=k*(e^(kx))
z''=k^2*(e^(kx))

k^2*(e^(kx))+3*k*(e^(kx))+4*e^(kx)=0
e^(kx)(k^2+3k+4)=0
k^2+3k+4=0
k1=(-3+корень7i)/2
k2=(-3-корень7i)/2
комплексные корни, значит z1=e^(-3x)cos(7x), z2=e^(-3x)sin(7x)
общее решение z=С1*e^(-3x)cos(7x)+С2*e^(-3x)sin(7x)

Значит потом нужно найти производную z' и подставить в z'=y-3z+e^x и из него найти у?

Это моя проблема - невнимательность

z''+3z'+4z=2(z'+3z-e^x)+e^x
z''+3z'+4z-2z'-6z=-e^x
z''+z'-2z=-e^x

z=e^kx
z'=k*e^kx
z''=(k^2)*e^(kx)

(k^2)*e^(kx)+k*e^(kx)-2*e^(kx)=0
e^(kx)*(k^2+k-2)=0
k^2+k-2=0
D=9
k1=(-1+3)/2=1
k2=(-1-3)/2=-2

z1=e^0x=1
z2=e^-2x

z=c1+c2*e^-2x