Сделал систему уравнений, метод исключения:
y'=2y-4z
z'=y-3z+e^x

далее я выразил из 2-го уравнения у:
-у=-z'-3z+e^x
y=z'+3z-e^x
тогда нашёл производную и подставил её в 1-ое уравнение:
y'=z''+3z'-e^x

z''+3z'-e^x=2y-4z
z''+3z'+4z=2y-e^x

нашёл характеристическое уравнение,
если
z=e^kx
z'=k*(e^(kx))
z''=k^2*(e^(kx))

k^2*(e^(kx))+3*k*(e^(kx))+4*e^(kx)=0
e^(kx)(k^2+3k+4)=0
k^2+3k+4=0
k1=(-3+корень7i)/2
k2=(-3-корень7i)/2
комплексные корни, значит z1=e^(-3x)cos(7x), z2=e^(-3x)sin(7x)
общее решение z=С1*e^(-3x)cos(7x)+С2*e^(-3x)sin(7x)

Значит потом нужно найти производную z' и подставить в z'=y-3z+e^x и из него найти у?

Извините крыша едет

z''+3z'+4z=2(z'+3z-e^x)+e^x
z''+3z'+4z-2z'-3z=0
z''+z'+z=0

z=e^kx
z'=k*e^kx
z''=(k^2)*e^(kx)

(k^2)*e^(kx)+k*e^kx+e^kx=0
e^(kx)*(k^2+k+1)=0
k1=(-1+корень3i)/2
k2=(-1-корень3i)/2
комплексные числа:
z1=e^(-x)cos(3x)
z2=e^(-x)sin(3x)
z=e^(-x)cos(3x)+e^(-x)sin(3x)

преобразование с ошибкой сделаны. Соответственно дальнейшее решение неверное. Переделывайте заново.