Сделал систему уравнений, метод исключения:
y'=2y-4z
z'=y-3z+e^x

далее я выразил из 2-го уравнения у:
-у=-z'-3z+e^x
y=z'+3z-e^x
тогда нашёл производную и подставил её в 1-ое уравнение:
y'=z''+3z'-e^x

z''+3z'-e^x=2y-4z
z''+3z'+4z=2y-e^x

нашёл характеристическое уравнение,
если
z=e^kx
z'=k*(e^(kx))
z''=k^2*(e^(kx))

k^2*(e^(kx))+3*k*(e^(kx))+4*e^(kx)=0
e^(kx)(k^2+3k+4)=0
k^2+3k+4=0
k1=(-3+корень7i)/2
k2=(-3-корень7i)/2
комплексные корни, значит z1=e^(-3x)cos(7x), z2=e^(-3x)sin(7x)
общее решение z=С1*e^(-3x)cos(7x)+С2*e^(-3x)sin(7x)

Значит потом нужно найти производную z' и подставить в z'=y-3z+e^x и из него найти у?

Если сравнивать правую часть -e^x с f(x)=P(x)e^Lx, L совпадает с корнем k1=1, то тогда (Ax^2+Bx)*e^x,

k=1 - корень кратности один,значит, если справа стоит P(x)*e^(kx), общее решение следует искать в виде z=x*Q(x)*e^(kx).

Q(x) тогда чему будет равен не пойму в уравнении же только -e^x

P(x)=-1 - многочлен нулевой степени, значит и Q(x) - тоже нулевой,т.е. Q(x)=C.

z=x*A*e^x
z'=A*x*e^x+A*e^x
z''=2*A*e^x+x*A*e^x

z''+z'-2z=-e^x
2*A*e^x+x*A*e^x+A*x*e^x+A*e^x-2*x*A*e^x=-e^x
3*A*e^x=-e^x
A=-1/3

z=(-1/3)*x*e^x - частное решение

Да.

потом подставляем в y=z'+3z-e^x , производную и всё система решена
z'=(-1/3)*x*(e^x)-(1/3)*(e^x)

y=(-1/3)*x*(e^x)-(1/3)*(e^x)+3*(-1/3)*x*(e^x)-(e^x)
y=(-4/3)*x*(e^x)-(4/3)*(e^x)
вроде всё.
Спасибо за помощь!!!