y''+ky'=0 если у'(0)=y(0) и y'(1)=y(0)
корни L=+-k
y=c1cos(kx)+c2sin(kx)
тогда y'=-k*c1*sin(kx)+k*c2*cos(kx)
при
y'(0)=-k*c1*sin0+k*c2*cos0, у'(0)=k*c2
у(0)=c1cos0+c2sin0, у(0)=с1

y'(0)=у(0), то k*c2=с1

при
y'(1)=-k*c1*sink+k*c2*cosk
у(0)=c1cos0+c2sin0, у(0)=с1

y'(1)=у(0), то -k*c1*sink+k*c2*cosk=с1, с1+k*c1*sink=k*c2*cosk, вынес за скобки с1, k*c2*cosk=с1*(1+k*sink)
из этого выражения с1=(k*c2*cosk)/(1+k*sink)
подставляя в k*c2=с1 получил, что
k*c2=(k*c2*cosk)/(1+k*sink)
1/cosk=1/(1+k*sink)
пропорцией cosk=1+ksink, значит k=0, но тогда получается что с2=0 и y=c1cos(kx)+c2sin(kx) при k=0, y=c1
Правильно я рассуждаю или в чём-то ошибка?

тогда общее решение будет y=c1-c2*k