Спасибо за предыдущий пример.
Вот встретил ещё 2 с которыми не справлюсь?
1) Найти a при которых уравнение имее 1 решение.
(sgr(5*x^2-2a*x+10)+sgr(5*x^2-2a*x+5))^x+(sgr(5*x^2-2a*x+10)-sgr(5*x^2-2a*x+5))^x=2*(sgr(5)^x
2) Решить систему
(lg (x))^2+(lg (y))^2=(5/2)*(lg (a^2))^2
x*y=a^2

Поправка в 1)в правой часте 2*(sgr(5))^x

Решение первой задачи:
Заметим, что при всех x,a на ОДЗ уравнения: sqrt(5x^2-2ax+10)-sqrt(5x^2-2ax+5)>0;sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5)>0; все дальнейшие преобразования будем проводить на ОДЗ уравнения с учетом данных условий.
Домножим выражение sqrt(5x^2-2ax+10)-sqrt(5x^2-2ax+5) на (sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))/(sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5)),после преобразований получим: 5/(sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5)), подставим полученное выражение в исходное уравнение: (sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))^x+(5/(sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5)))^x=2*5^(x/2) Произведем деление обеих частей уравнения на выражение 5^(x/2), не равное нулю ни при каком x, получим: ((sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))^x)/5^(x/2)+ 5^(x/2)/((sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))^x)=2
Сделаем замену:((sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))^x)/5^(x/2)=y, причем y>0, получим: y+1/y=2, здесь можно воспользоваться либо известным неравенством для положительных чисел, либо свести это уравнение к квадратному, в любом случае получим y=1 - корень уравнения. Вернемся к исходным неизвестным: ((sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))^x)/5^(x/2)=1, или, посде домножения обеих частей на 5^(x/2): (sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))^x=5^(x/2), после логарифмирования уравнения по основанию 2 и группировки получим: x(log_2((sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))/5^(1/2))=0
Тогда либо x=0, либо (sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))/5^(1/2)=1, откуда
после домножения на 5(1/2),возведения обеих частей уравнения в квадрат и приведения подобных:2ax-5x^2-5-sqrt((5x^2-2ax+10)(5x^2-2ax+5))=0, сгруппируем полученное выражение: -sqrt(5x^2-2ax+5)*(sqrt(5x^2-2ax+10)+sqrt(5x^2-2ax+5))=0, второй множитель не равен нулю ни при каких a,x, следовательно: sqrt(5x^2-2ax+5)=0, или, что то же самое, 5x^2-2ax+5=0. Возвращаясь к исходному вопросу задачи, заметим, что х=0 - корень уравнения на его ОДЗ независимо от a, т.е. условие задачи достигается, когда 5x^2-2ax+5 не равен нулю, откуда легко получить , что а принадлежит промежутку (-5;5), ясно, что при этом условии 5x^2-2ax+5>0 и 5x^2-2ax+10>0. Итак, при а, принадлежащих промежутку (-5;5) уравнение имеет лишь 1 корень.
Решение второй задачи:
Заметим, что данная система имеет смысл, когда числа x,y,(a/2) положительны и не равны единице. Дальнейшее решение происходит с учетом этих условий.
В уравнении (lg(x))^2+(lg(y))^2=(5/2)*(lg(a/2))^2 заменим (a/2) на xy и применим формулу преобразования логарифма произведения в сумму логарифмов, учтя, что х и у положительны, домножим обе части уравнения на 2 получим: 3(lg(x))^2+10lg(x)*lg(y)+3(lg(y))^2=0. Это однородное уравнение, если (lg(y))^2=0, то легко получить, что у=1 и х=1, а значит a=2; если (lg(y))^2 не равен нулю, то поделим обе части уравнения на данное выражение и сделаем замену lg(x)/lg(y)=z, тогда:3z^2+10z^2+3=0, уравнение является квадратным и легко решается, его корни рвны:-3 и -1/3 Вернемся к исходным переменным и рассмотрим 2 случая:
1) z=-3, тогда: lg(x)=-3lg(y), откуда lg(x)+lg(y)^3=0, т.е. lg(x*y^3)=0 или xy^3=1
поделив xy^3=1 на xy=a/2 получим y^2=2/a, откуда y=+-sqrt(2/a), подставляя найденный y в уравнение xy=a/2 легко найти x=+-sqrt(a^3/8)
2) z=-1/3. Решая аналогично, находим: х=+-sqrt(2/a); y=+-sqrt(a^3/8)
Таким образом:
1) при а<=0;a=2 решений нет
2) при a>0;a не равном 2 решения системы: (sqrt(2/a);sqrt(a^3/8)); (-sqrt(2/a);-sqrt(a^3/8)); (sqrt(a^3/8);sqrt(2/a)); (-sqrt(a^3/8);-sqrt(2/a))