IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> y'+2xy=2(x^3)*(y^3), Уравнение Бернулли
Lutik
сообщение 1.11.2009, 13:01
Сообщение #1


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



Проверти пожалуйста решение уравнения Бернулли
y'+2xy=2(x^3)*(y^3). P(x)=x, Q(x)=x^3
z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2

z'+2xz=2(x^3)
z=uv =>z'=u'v+v'u тогда

u'v+v'u+2x*uv=2(x^3)
u'v+u(v'+2xv)=2(x^3)
система
v'+2xv=0
u'v=2(x^3)

v'+2xv=0
dv/dx=-2xv
ln|v|=-1/2 ln|x| => v=x^(-1/2)

u'*x^(-1/2)=2(x^3)
du/dx=2(x^3)*x^(1/2)
du=dx/2(x^3)*x^(1/2)
u=1/2*(dx/(x^3)*x^(1/2))
u=1/2*(dx/x^3/2))
u=1/2*(-2*x^(-1/2))
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2009, 13:12
Сообщение #2


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



ответ то где?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lutik
сообщение 1.11.2009, 13:16
Сообщение #3


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



z=uv
z=1/2*(-2*x^(-1/2))*x^(-1/2)
так как z=1/y^2, то y=(1/z)^(1/2)

y=1/(1/2*(-2*x^(-1/2))*x^(-1/2))^(1/2)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2009, 13:20
Сообщение #4


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



Цитата(Lutik @ 1.11.2009, 16:01) *


dv/dx=-2xv
ln|v|=-1/2 ln|x| => v=x^(-1/2)



переход неверный. Дальше все неправильно.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lutik
сообщение 1.11.2009, 13:46
Сообщение #5


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



v=1/x^(1/2) получилось, так как ln|v|=-1/2 ln|x| и -1/2 в степень переносим
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2009, 13:51
Сообщение #6


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



dv/dx=-2xv
dv/v=-2xdx
теперь интегрируйте. Сколько получилось?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lutik
сообщение 1.11.2009, 13:54
Сообщение #7


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



ln|v|=-2x^2 получилось
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2009, 13:57
Сообщение #8


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



неправильно
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lutik
сообщение 1.11.2009, 14:00
Сообщение #9


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



ой перепутал
ln|v|=-2 *(x^3/3)
dv/v=-2xdx => ln|v|=-2*x^2/2 => ln|v|=-x^2
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2009, 14:02
Сообщение #10


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



неправильно
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lutik
сообщение 1.11.2009, 14:06
Сообщение #11


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



Всё крыша едет, не то выражение смотрю.
вот вроде так dv/v=-2xdx => ln|v|=-2*x^2/2 => ln|v|=-x^2
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2009, 14:14
Сообщение #12


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



Уже лучше, v=чему?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lutik
сообщение 1.11.2009, 14:18
Сообщение #13


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



v = e^-x^2
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2009, 14:26
Сообщение #14


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



Ну слава Богу.

Теперь мне не понятен переход

y'+2xy=2(x^3)*(y^3). P(x)=x, Q(x)=x^3
z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2

z'+2xz=2(x^3)

объясните ка. По-моему он здесь вообще ни к чему.


y'+2xy=2(x^3)*(y^3).
y=uv, y'=u'v+v'u
u'v+v'u+2xuv=(2x^3)y^3
u'v+u(v'+2xv)=(2x^3)y^3
v'+2xv=0, dv/v=-2xdx, lnv =-x^2, v=e^(-x^2)
u'e^(-x^2)=2x^3(uv)^3
u'e^(-x^2)=(2x^3)(u^3) e^(-3x^2)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lutik
сообщение 1.11.2009, 14:31
Сообщение #15


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



дальше u'*(e^(-x^2))=2x^3*(u^3)
du/dx*(e^(-x^2)) = 2x^3*(u^3)
du=(2*(x^3))*(u^3) *(e^(x^2))dx

нам в институте показали пример метода Бернулли и там такую замену сделали, а так можно и без неё сделать.
я так и сделал (только с ошибками):
y'+2xy=2(x^3)*(y^3).
y=uv, y'=u'v+v'u
u'v+v'u+2xuv=(2x^3)y^3
u'v+u(v'+2xv)=(2x^3)y^3
v'+2xv=0, dv/v=-2xdx, lnv =-x^2, v=e^(-x^2)
u'e^(-x^2)=2x^3(uv)^3
u'e^(-x^2)=(2x^3)(u^3) e^(-3x^2)

для того чтобы не писать (uv)^3 делают замену с самого начала z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2
z'+2xz=2(x^3) z=uv =>z'=u'v+v'u, лучше по тому способу делать
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Dimka
сообщение 1.11.2009, 14:32
Сообщение #16


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 4 925
Регистрация: 26.2.2007
Город: _
Вы: другое



теперь разделяйте переменные и интегрируйте
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lutik
сообщение 1.11.2009, 14:45
Сообщение #17


Аспирант
***

Группа: Продвинутые
Сообщений: 271
Регистрация: 24.12.2008
Город: Москва



Большое спасибо за помощь.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 28.3.2024, 12:50

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru