y'+2xy=2(x^3)*(y^3), Уравнение Бернулли |
Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )
y'+2xy=2(x^3)*(y^3), Уравнение Бернулли |
Lutik |
1.11.2009, 13:01
Сообщение
#1
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
Проверти пожалуйста решение уравнения Бернулли
y'+2xy=2(x^3)*(y^3). P(x)=x, Q(x)=x^3 z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2 z'+2xz=2(x^3) z=uv =>z'=u'v+v'u тогда u'v+v'u+2x*uv=2(x^3) u'v+u(v'+2xv)=2(x^3) система v'+2xv=0 u'v=2(x^3) v'+2xv=0 dv/dx=-2xv ln|v|=-1/2 ln|x| => v=x^(-1/2) u'*x^(-1/2)=2(x^3) du/dx=2(x^3)*x^(1/2) du=dx/2(x^3)*x^(1/2) u=1/2*(dx/(x^3)*x^(1/2)) u=1/2*(dx/x^3/2)) u=1/2*(-2*x^(-1/2)) |
Dimka |
1.11.2009, 13:12
Сообщение
#2
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 4 925 Регистрация: 26.2.2007 Город: _ Вы: другое |
ответ то где?
|
Lutik |
1.11.2009, 13:16
Сообщение
#3
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
z=uv
z=1/2*(-2*x^(-1/2))*x^(-1/2) так как z=1/y^2, то y=(1/z)^(1/2) y=1/(1/2*(-2*x^(-1/2))*x^(-1/2))^(1/2) |
Dimka |
1.11.2009, 13:20
Сообщение
#4
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 4 925 Регистрация: 26.2.2007 Город: _ Вы: другое |
|
Lutik |
1.11.2009, 13:46
Сообщение
#5
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
v=1/x^(1/2) получилось, так как ln|v|=-1/2 ln|x| и -1/2 в степень переносим
|
Dimka |
1.11.2009, 13:51
Сообщение
#6
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 4 925 Регистрация: 26.2.2007 Город: _ Вы: другое |
dv/dx=-2xv
dv/v=-2xdx теперь интегрируйте. Сколько получилось? |
Lutik |
1.11.2009, 13:54
Сообщение
#7
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
ln|v|=-2x^2 получилось
|
Dimka |
1.11.2009, 13:57
Сообщение
#8
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 4 925 Регистрация: 26.2.2007 Город: _ Вы: другое |
неправильно
|
Lutik |
1.11.2009, 14:00
Сообщение
#9
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
ой перепутал
dv/v=-2xdx => ln|v|=-2*x^2/2 => ln|v|=-x^2 |
Dimka |
1.11.2009, 14:02
Сообщение
#10
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 4 925 Регистрация: 26.2.2007 Город: _ Вы: другое |
неправильно
|
Lutik |
1.11.2009, 14:06
Сообщение
#11
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
Всё крыша едет, не то выражение смотрю.
вот вроде так dv/v=-2xdx => ln|v|=-2*x^2/2 => ln|v|=-x^2 |
Dimka |
1.11.2009, 14:14
Сообщение
#12
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 4 925 Регистрация: 26.2.2007 Город: _ Вы: другое |
Уже лучше, v=чему?
|
Lutik |
1.11.2009, 14:18
Сообщение
#13
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
v = e^-x^2
|
Dimka |
1.11.2009, 14:26
Сообщение
#14
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 4 925 Регистрация: 26.2.2007 Город: _ Вы: другое |
Ну слава Богу.
Теперь мне не понятен переход y'+2xy=2(x^3)*(y^3). P(x)=x, Q(x)=x^3 z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2 z'+2xz=2(x^3) объясните ка. По-моему он здесь вообще ни к чему. y'+2xy=2(x^3)*(y^3). y=uv, y'=u'v+v'u u'v+v'u+2xuv=(2x^3)y^3 u'v+u(v'+2xv)=(2x^3)y^3 v'+2xv=0, dv/v=-2xdx, lnv =-x^2, v=e^(-x^2) u'e^(-x^2)=2x^3(uv)^3 u'e^(-x^2)=(2x^3)(u^3) e^(-3x^2) |
Lutik |
1.11.2009, 14:31
Сообщение
#15
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
дальше u'*(e^(-x^2))=2x^3*(u^3)
du/dx*(e^(-x^2)) = 2x^3*(u^3) du=(2*(x^3))*(u^3) *(e^(x^2))dx нам в институте показали пример метода Бернулли и там такую замену сделали, а так можно и без неё сделать. я так и сделал (только с ошибками): y'+2xy=2(x^3)*(y^3). y=uv, y'=u'v+v'u u'v+v'u+2xuv=(2x^3)y^3 u'v+u(v'+2xv)=(2x^3)y^3 v'+2xv=0, dv/v=-2xdx, lnv =-x^2, v=e^(-x^2) u'e^(-x^2)=2x^3(uv)^3 u'e^(-x^2)=(2x^3)(u^3) e^(-3x^2) для того чтобы не писать (uv)^3 делают замену с самого начала z=y^(1-a) =>a=3 => z=y^(-2)=1/y^2 z'+2xz=2(x^3) z=uv =>z'=u'v+v'u, лучше по тому способу делать |
Dimka |
1.11.2009, 14:32
Сообщение
#16
|
Доцент Группа: Преподаватели Сообщений: 4 925 Регистрация: 26.2.2007 Город: _ Вы: другое |
теперь разделяйте переменные и интегрируйте
|
Lutik |
1.11.2009, 14:45
Сообщение
#17
|
Аспирант Группа: Продвинутые Сообщений: 271 Регистрация: 24.12.2008 Город: Москва |
Большое спасибо за помощь.
|
Текстовая версия | Сейчас: 28.3.2024, 12:50 |
Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru