Помогите, пожалуйста, найти интеграл int (1 + x^(1/3))^(1/5)/(x * x^(2/5)) dx.

int (1 + x^(1/3))^(1/5)/(x * x^(2/5)) dx = int (1 + x^(1/3))^(1/5) * x^(-7/5) dx
Получаем интеграл от дифференциального бинома.
int x^m * (a + b * x^n)^p dx
В нашем случае m = -7/5, a = 1, b = 1, n = 1/3, p = 1/5.
(m + 1)/n + p = (-7/5 + 1)/(1/3) + 1/5 = -(2/5)/(1/3) + 1/5 = -6/5 + 1/5 = -1 - целое
Тогда можно сделать замену:
x^(-1/3) + 1 = z^5 => x^(-1/3) = z^5 - 1 => x = (z^5 - 1)^(-3)
Получаем, что
dx = d((z^5 - 1)^(-3)) = (-3) * (z^5 - 1)^(-4) * 5 * z^4 dz =
= -15 * z^4 * (z^5 - 1)^(-4) dz
После подстановки интеграл примет вид:
int (1 + x^(1/3))^(1/5) * x^(-7/5) dx =
= int (1 + ((z^5 - 1)^(-3))^(1/3))^(1/5) * ((z^5 - 1)^(-3))^(-7/5) * (-15) * z^4 *
* (z^5 - 1)^(-4) dz =
= -15 * int (1 + (z^5 - 1)^(-1))^(1/5) * (z^5 - 1)^(21/5) * z^4 * (z^5 - 1)^(-4) dz =
= -15 * int (1 + 1/(z^5 - 1))^(1/5) * (z^5 - 1)^(21/5 - 4) * z^4 dz =
= -15 * int (z^5/(z^5 - 1))^(1/5) * (z^5 - 1)^(1/5) * z^4 dz =
= -15 * int z/(z^5 - 1)^(1/5) * (z^5 - 1)^(1/5) * z^4 dz =
= -15 * int z^5 dz = -15 * 1/6 * z^6 + C = -5/2 * z^6 + C =
= | z = (x^(-1/3) + 1)^(1/5) | = -5/2 * (x^(-1/3) + 1)^(6/5) + C