Доброго времени суток.
Возникла проблема.
Необходимо найти собственные вектора матрицы
1 0 0
2 -1 0
1 -1 2
Нахожу собственные значения, они равны
1, -1, 2
далее составляю систему линейных уравнений
для 1
0*х1+0*х2+0*х3=0
2*х1-2*х2+0*х3=0
1*х1-1*х2+1*х3=0
а дальше??
Получается, что х1=х2, х3=0, а как будет при этом выглядеть собственный вектор сообразить не могу.
для -1
2*х1+0*х2+0*х3=0
2*х1-0*х2+0*х3=0
1*х1-1*х2+3*х3=0
а дальше??
Получается, что х1=0, х3=х2/3, х2= ???
для 2
-1*х1+0*х2+0*х3=0
2*х1-1*х2+0*х3=0
1*х1-1*х2+0*х3=0
а дальше??
Получается, что х1=0, х2=0, х3= ???

верно

так.
Получаем систему:
х1-х2=0
х1-х2+х3=0
Кол-во переменных n=3, ранг r матрицы системы равен 2, тогда количество свободных переменных равно 1 (n-r), зависимых - 2.
В качестве свободной переменной выбираем например х2 и выражаем через нее все остальные переменные. Тогда общее решение системы:
х1=х2,
х2=х2,
х3=0*х2=0
ФСР: х2=1 => х1=1, х3=0, т.е. собственный вектор е1=(1, 1, 0). И т.д.

Пример


Я бы написала так: х1=0*х3, х2=0*х3, х3=х3. Т.е. в качестве свободной переменной рассматривается переменная х3.