lim (Un)^1/n=lim ((n-1)*(n^1/n))/5n=lim|(n-1)/5^n|=|-1/5|=1/5 <1 следовательно ряд сходится. Вот с минусом правильно ли записала?

Посмотрите пожалуйста решение. Сдавать надо, а уверенности нет.

Вообще непонятно, что написано в решении.
Предлагаю так:

Ясно, что ((n-1)/n)^n <1, а потому

((n-1)/n)^n * n/5^n < n/5^n

а ряд n/5^n сходится по признаку Даламбера (докажите). Поэтому исх. ряд сходится по теореме сравнения.



Теперь понял, что у Вас написано - радикальный признак Коши. Тогда чуть подправлю:

lim (Un)^1/n=lim ((n-1)*(n^1/n))/5n=lim(n-1)/5^n=1/5<1 следовательно ряд сходится.

Но при этом Вы должны уметь доказать, что lim n^(1/n)=1

Да я напутала уже в решении, вчера когда села переписывать увидела свою ошибку, что-то намудрила со знаками. Откуда минус взяла сама не пойму. Все равно, спасибо.