Урна содержит M занумерованных шаров с номерами от 1 до M. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
A – номера шаров в порядке поступления образуют последовательность 1, 2, …, M;
B – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
C – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событии A, B, C. Найти предельные значения вероятностей при .
M=3

Хотябы подскажите как к ней подобраться

Вероятность того, что первый шар будет с номером 1 - 1/M, второй с номером 2 - 1/(M-1). И т.д. А потом их всех перемножаете.

Боьшое спасибо. Я так и подумал. Но в последний момент засомневался.

Пожалуйста.

Корзина содержит n занумерованных шаров с номерами от 1 до n. Шары извлекаются по одному без возвращения. Рассматриваются следующие события:
B – хотя бы один раз совпадает номер шара и порядковый номер извлечения;
C – нет ни одного совпадения номера шара и порядкового номера извлечения.
Определить вероятности событии B, C. Найти предельные значения вероятностей при n->00.

Уже не первый раз встречаю такую задачу, так что решил наконец-то попробовать разобраться с ней.
Введем события:
А1 – при первом извлечении вынут шар № 1
А2 – при втором извлечении вынут шар № 2
.
.
Аn – в последнем извлечении вынут шар № n.
Ясно, что
В=А1+А2+…+Аn,
а С – событие, противоположное В :
С=(неА1)*(неА2)*…*(неАn).
Сначала думал, что проще найти вероятность события С (формула вероятности произведения произвольного числа событий много проще формулы вероятности суммы произвольного числа событий), но натолкнулся на трудности, которые не смог преодолеть (там возникает формула полной вероятности для вычисления УСЛОВНОЙ вероятности).
Так что будем вычислять вероятность события В.
Для этого отыскал формулу вероятности суммы произвольного числа событий (она доказывается по индукции):
Р(А1+А2+…+Аn)=[(сумма по всем событиям Аi) P(Ai)] - [(сумма по всем различающимся неупорядоченным парам событий Ai и Aj)] P(Ai*Aj)] + [(сумма по всем различающимся неупорядоченным тройкам событий Ai , Aj, Ak)] P(Ai*Aj*Ak)] - …. + [(-1)^(n+1) *P(A1*A2*…*An)] .
Посчитаем вероятности событий, входящих в правую часть этой формулы. Все их будем считать по классическому определению:
Р=(число благоприятствующих исходов эксперимента)/(общее число исходов эксперимента).
Результат каждого эксперимента по извлечению шаров будем выражать перестановкой из чисел {1, 2, …, n}, причем на 1-м месте будет стоять номер шара, извлеченного первым, и т.д. . Тогда очевидно, что общее число исходов такого эксперимента равно числу перестановок, т.е. n! . Далее будем обозначать С(n,k) – число сочетаний из из n по k.

Ясно, что в первой квадратной скобке сумма состоит из C(n,1) = n одинаковых слагаемых, так как для всех событий Ai число благоприятных исходов равно числу перестановок из (n-1) элемента (т.е. = (n-1)!), так как одно i-е место в перестановке фиксировано (= i), а остальные (n-1) мест могут заниматься произвольно. Поэтому Р(Аi)=(n-1)!/n! .

Во вторых квадратных скобках слагаемых, очевидно, C(n,2) штук и опять они все одинаковы: число благоприятных исходов для события Ai*Aj равно (n-2)!, так как два места ( i-е и j-е) в перестановке фиксированы (= i и j соответственно), а остальные (n-2) мест могут заниматься произвольно. Поэтому Р(Аi*Aj)=(n-2)!/n! .

В третьих квадратных скобках слагаемых, очевидно, C(n,3) штук и опять они все одинаковы: число благоприятных исходов для события Ai*Aj*Ak равно (n-3)!, так как три места ( i-е , j-е и k-e) в перестановке фиксированы (= i , j и k соответственно), а остальные (n-3) мест могут заниматься произвольно. Поэтому Р(Аi*Aj*Ak)=(n-3)!/n! .

В последнем слагаемом число благоприятных исходов для события A1*A2*…*An равно 1 (это единственная перестановка 1, 2, …, n ), а потому P(A1*A2*…*An)=1/n!.

Подставляя, получим :
Р(А1+А2+…+Аn)= C(n,1)* (n-1)!/n! - C(n,2)* (n-2)!/n! + C(n,3)* (n-3)!/n! - … + (-1)^(n+1)* 1/n!.
После подстановки в это выражение формул для числа сочетаний многое сокращается и окончательно получается:

Р(В)=1/1! – 1/2! + 1/3! - … +(-1)^(n+1)* 1/n! .
Далее, Р(С)=1-Р(В),т.е. :

Р(С)=1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + … +(-1)^n* 1/n! .
Эти формулы – правильные. Я проверил их для n=1,2,3,4. Но, возможно, есть и более простой их вывод.
Учитывая известное разложение для функции е^x , получим , что при предельные вероятности (n->00):

Р(С) = 1/е, Р(В) = 1 – 1/е.

P.S. Из этих формул можно указать еще один (статистический) способ приближенного вычисления числа е. Думаю, что он самый неэффективный из существующих. (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Я с подобными задачами сталкивалась обычно в той версии, где переставляют тома из некоего собрания сочинений. И решались они методом включений-исключений (это была мат.логика) - т.е. как раз так, как решали Вы. А предельный случай не приходило в голову рассмотреть...
Честно говоря, меня немного удивила сначала довольно высокая вероятность события С, но рассмотрев несколько случаев, убедилась, что ничего странного.
Так что

Спасибо (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

P.S. Никак не могу разобраться в значениях смайликов. А те, что пониже - вообще не вставляются.
Так что все положительные эмоции обозначаю этим смайлом. Без оттенков, к сожалению. (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Эмоции положительные, а вы грустите?

P.S. А я могу как и Нюта (IMG:style_emoticons/default/cool.gif)

Большое всем спасибо.Вывод только один. Чем безобиднее на первый взгляд задача, тем она сильнее запутана внутри

Вот подобная задача, но у меня вызвала затруднения

Корзина содержит 6 занумерованных шаров с номерами от 1 до 6. Шары извлекаются по одному без возвращения. Найти вевоятность того, что по крайней мере для трех шаров номер извлечения совпадет с номером шара.

Помогите разобраться. Я собственно не понимаю как расмотреть случаи с 0,1, 2 совпадениями, чтобы найти вероятность обратного события.

Странно, что задают такие непростые задачи. (IMG:style_emoticons/default/huh.gif)
Мне кажется, что схема решения может быть следующей.
Введепм события:
В1 - В ТОЧНОСТИ для одного шара номер его извлечения совпал с собственным номером,
В2 - В ТОЧНОСТИ для двух шаров номер их извлечений совпал с их собственными номерами,
.
.
.
В6 - В ТОЧНОСТИ для шести шаров номер их извлечений совпал с их собственными номерами.
А - по крайней мере для трех шаров номер извлечения совпадет с номером шара.
Тогда ясно, что А есть сумма несовместных событий:
Р(А)=Р(В3+В4+В5+В6)=Р(В3)+Р(В4)+Р(В5)+Р(В6).
Найдем значение каждого слагаемого.Посчитаем вероятности событий, входящих в правую часть этой формулы. Все их будем считать по классическому определению:
Р=(число благоприятствующих исходов эксперимента)/(общее число исходов эксперимента)=m/n.
Результат каждого эксперимента по извлечению шаров будем выражать перестановкой из чисел {1, 2, …, 6}, причем на 1-м месте будет стоять номер шара, извлеченного первым, и т.д. . Тогда очевидно, что общее число исходов такого эксперимента равно числу перестановок, т.е. n= 6! .

1) Рассмотрим В6. Благоприятна лишь одна исходная перестановка {1, 2, …, 6}, поэтому m=1.
2) Рассмотрим В5 - это невозможное событие (если совпадут 5, то совпадут все 6), т.е. m=0.
3) Рассмотрим В4. Четверку совпавших можно выбрать С(6,4)=15 способами, а остальные два шара можно извлечь только одним способом, чтобы совпавших осталось ровно 4. Поэтому m=15.
3) Рассмотрим В3. Тройку совпавших можно выбрать С(6,3)=20 способами, а остальные три шара можно извлечь только двумя способами (убедитесь), чтобы совпавших осталось ровно 3. Поэтому m=20*2=40.

Итак,
Р(А)=1/6!+15/6!+40/6!=56/720=7/90.

Спасибо!
Отделное спасибо за подробное объяснение хода решения