IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> Решение геометрической задачи на нахождение наименьшего значения
Sveta
сообщение 14.5.2007, 9:55
Сообщение #1


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 7
Регистрация: 13.5.2007
Город: НН



Помогите, пожалуйста, разобраться.
Через точку прямого угла провести прямую так, чтобы периметр получившегося треугольника был наименьшим.

Я так думаю, что нужно составить функцию периметра, и потом берем от нее производную.
Не могу понять от чего эта фунция должна зависеть.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 14.5.2007, 10:32
Сообщение #2


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Например от угла, который проведенная прямая составляет со второй стороной угла.
Либо от длины отрезка, который отсекает прямая от второй стороны угла.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Sveta
сообщение 14.5.2007, 17:29
Сообщение #3


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 7
Регистрация: 13.5.2007
Город: НН



Спасибо за ответ.
Пусть точка прямого угла - С.
Обычно, в подобных задачах что-то дано, можно ли координаты точки С принять как постоянные (с1, с2)?
Пусть прямая пересекает ось Оy в точке В, ось Ох в точке А и образует с осью Ох угол а.
Тогда с2=tg а*с1+b
Тогда ОА=2*с1+b/tg а, ОВ=b, АВ=(ОА^2+OB^2)^(1/2)=((2*с1+b/tg а)^2+b^2)^(1/2)
Получается периметр зависит от угла а и b (c1 считаем константой)
Может я что-то не так понимаю, или решаю не так .....
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
A_nn
сообщение 14.5.2007, 18:32
Сообщение #4


Ассистент
****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 720
Регистрация: 26.2.2007
Город: СПб
Вы: преподаватель



Так ведь и с2 Вы тоже считаете константой, и тогда из с2=tg а*с1+b можно выразить b через а (или наоборот).
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Sveta
сообщение 14.5.2007, 19:53
Сообщение #5


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 7
Регистрация: 13.5.2007
Город: НН



Тогда
b=с2-c1*tg а
ОА=с1+c2*ctg a
ОВ=с2-c1*tg а
АВ=(ОА^2+OB^2)^(1/2)=((с1+с2*ctg a)^2+(с2-c1*tg а)^2)^(1/2)

P(a)=с1+с2*ctg a+с2-c1*tg а+((с1+с2*ctg a)^2+(с2-c1*tg а)^2)^(1/2)

Теперь надо находить производную, я так понимаю, но она получается просто ооочень "непреобразуемая"...
Может где-то ошибка в моих рассуждениях выше?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lion
сообщение 16.5.2007, 18:27
Сообщение #6


Ассистент
****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 508
Регистрация: 23.2.2007
Из: Белоярский,ХМАО
Город: Белоярский, ХМАО



Я пробовала и через длину отрезка, который отсекает прямая от стороны прямого угла.
С(с1,с2) - точка прямого угла
Пусть прямая пересекает ось Оy в точке В, ось Ох в точке А.

Пусть ОА=х.
Тогда ОВ=с2*х/(х-с1)
АВ=(x^2+(с2*х/(х-с1))^2)^(1/2)
И тоже упираюсь в то, что не могу решить уравнение P ' (x)=0...

Уважаемые преподаватели и активные участники форума!
Пожалуйста, помогите Svetе (IMG:style_emoticons/default/wink.gif) (и мне)
Задание было на предварительных госах....
Может мы условие не понимаем...

venja, вот Вы в обоих предложениях употребили "на ВТОРОЙ стороне угла". Почему? Это важно?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 17.5.2007, 2:49
Сообщение #7


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Я неправильно понимал условие - думал, что точка должна браться на одной из сторон угла (тогда другая сторона - вторая и есть).
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 17.5.2007, 14:22
Сообщение #8


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Решил.
Но решение достаточно громоздкое, хотя по дороге применял много хитрых упрощающих преобразований (писать их очень громоздко).
Приведу основные этапы.
Пусть точка, через которую проходят прямые, имеет (фиксированные) координаты (а,b ).Пусть х - ОСТРЫЙ угол, под которым прямая пересекает ось абсцисс (меняющийся параметр от 0 до пи/2).
Обозначим k=a/b.
Тогда периметр прямоуг. тр-ка можно выразить так:
P=b*(1+ctgx+1/sinx+k*tgx+k+k/cosx)
Тогда производная:
P'=b*{k/(1-sinx)-1/(1-cosx)}
Приравнивая ее к 0, получим уравнение:
sinx-k*cosx=1-k

Получил следующее решение этого уравнения:

x=arcsin[(1-k+k*sqrt(2*k))/(1+k^2)]

Думаю, что формула верна, так как при проверяемых значениях k дает правильные значения:
при k=0 дает х=пи/2
при k=бесконечности дает х=0
и очень важно, что
при k=1 дает х=пи/4

Странно, что такое дают студентам (IMG:style_emoticons/default/mad.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
A_nn
сообщение 18.5.2007, 8:11
Сообщение #9


Ассистент
****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 720
Регистрация: 26.2.2007
Город: СПб
Вы: преподаватель



Возможно, подразумевалось, что точка лежит на стороне угла.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 18.5.2007, 10:11
Сообщение #10


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(A_nn @ 18.5.2007, 14:11) *

Возможно, подразумевалось, что точка лежит на стороне угла.


Сначала я так и подумал - это видно по моему первому ответу (вспоминал определение угла...).
Но по дальнейшему диалогу решил, что это не так. Но может быть все-таки точка на стороне. Но вообще-то угол, насколько я помню, это и внутренность тоже. Непонятно.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 18.5.2007, 13:58
Сообщение #11


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(venja @ 18.5.2007, 16:11) *

Сначала я так и подумал - это видно по моему первому ответу (вспоминал определение угла...).
Но по дальнейшему диалогу решил, что это не так. Но может быть все-таки точка на стороне. Но вообще-то угол, насколько я помню, это и внутренность тоже. Непонятно.


Да нет. Все правильно. Точка никак не может быть на стороне угла. Иначе задача не имеет решения.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Sveta
сообщение 19.5.2007, 15:16
Сообщение #12


Новичок
*

Группа: Продвинутые
Сообщений: 7
Регистрация: 13.5.2007
Город: НН



Цитата(venja @ 17.5.2007, 14:22) *

Решил.

Большое спасибо за решение, было интересно докопаться до истины.
Цитата(venja @ 17.5.2007, 14:22) *

Странно, что такое дают студентам (IMG:style_emoticons/default/mad.gif)

При этом, это задание с гос. экаменов, где было еще 4 задания:
система из трех ДУ,
дополнить два вектора пр-ва R5 до ортогон. базиса (Гаусс...),
задача по теории вероятности,
и по программированию, написать программку на С++(без компьютера...)

и все это на три часа!!! (IMG:style_emoticons/default/blink.gif)

Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Lion
сообщение 19.5.2007, 15:46
Сообщение #13


Ассистент
****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 508
Регистрация: 23.2.2007
Из: Белоярский,ХМАО
Город: Белоярский, ХМАО



Цитата(venja @ 17.5.2007, 20:22) *

Странно, что такое дают студентам (IMG:style_emoticons/default/mad.gif)

Мне тоже кажется, что для проверки знаний по мат. анализу
можно найти массу других интересных заданий (без громоздких выкладок)...
P.S. venja, спасибо за решение.Прикрепленное изображение
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 28.3.2024, 16:51

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru