Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием:
int ((x^2*e^(3x))dx)

Решение:
int ((x^2*e^(3x))dx)
Положим u=x^2, v'=e^(3x). Тогда u'=2, v=(1/3)e^(3x).
По формуле: int ((u*v')dx)=u*v- int ((u'*v)dx)
исходный интеграл запишется в виде:
int ((x^2*e^(3x))dx)=x^2*(1/3)e^(3x)-int((2*(1/3)e^(3x))dx)=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*int((e^(3x))dx)=
=(1/3)*x^2*e^(3x)-(1/3)*e^(3x)+c

верно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
а как сделать проверку? (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Ответ такой должен получится: (9x^2-6x+2)e^(3x)/27

int((x^2*e^(3x))dx)=x^2*1/3*e^(3x)-int((2x*1/3*e^(3x))dx)=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3*int((x*e^3x))dx=
zamena u=x, v'=e^(3x) => u'=1, v=1/3*e^(3x)
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3*(x*1/3*e^(3x)-int*((1/3*e^(3x))dx=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3*(1/3*x*e^(3x)-1/3int((e^(3x))dx=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3(1/3*x*e^(3x)-1/3*1/3*e^(3x))=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/3(1/3*x*e^3x-1/3*e^(3x))=
=1/3*x^2*e^(3x)-2/9*x*e^(3x)+2/27*e^(3x)=
=(e^(3x)*(9x^2-6x+2))/27+с

Ура, получили.
Еще +С в конце.

(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)

Проверка:
[1/27*e^(3x)(9x^2-6x+2)+с]'=
=[1/27*e^(3x)*9x^2-1/27*e^(3x)*6x+1/27*e^(3x)*2]'=
=[1/27*e^(3x)*9x^2]'-[1/27*e^(3x)*6x]'+[1/27*e^(3x)*2]'=
=[1/27*e^(3x)*(9x^2)'+9x^2*1/27*e^(3x)']-[1/27*e^(3x)*(6x)'+6x*1/27*e^(3x)']+[2/27*e^(3x)]'=
=[1/27*e^(3x)*18x+9x^2*1/27*(3x)'*e^(3x)]-[1/27*e^(3x)*6+6x*1/27*(3x)'*e^(3x)]+[2/27*(3x)'*e^(3x)]=
=[18/27*x*e^(3x)+27/27*x^2*e^(3x)]-[6/27*e^(3x)+18/27*x*e^(3x)]+6/27*e^(3x)=
=18/27*x*e^(3x)+x^2*e^(3x)-6/27*e^(3x)-18/27*x*e^(3x)+6/27*e^(3x)=
=x^2*e^(3x)

все сошлось! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)