Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием:
int ((x^2*e^(3x))dx)

Решение:
int ((x^2*e^(3x))dx)
Положим u=x^2, v'=e^(3x). Тогда u'=2, v=(1/3)e^(3x).
По формуле: int ((u*v')dx)=u*v- int ((u'*v)dx)
исходный интеграл запишется в виде:
int ((x^2*e^(3x))dx)=x^2*(1/3)e^(3x)-int((2*(1/3)e^(3x))dx)=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*int((e^(3x))dx)=
=(1/3)*x^2*e^(3x)-(1/3)*e^(3x)+c

верно? (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
а как сделать проверку? (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

теперь правильно? u'=2х

Да, теперь правильно.
Теперь расскажите, как из

получили
.

=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*int((хe^(3x))dx)=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/3)*(1/3)*х*e^(3x)+c=
=(1/3)x^2*e^(3x)-(2/6)*x*e^(3x)+c

верно? (IMG:style_emoticons/default/sad.gif)

Почему int((хe^(3x))dx)=(1/3)*х*e^(3x)+c? Это вы вычислили интеграл, когда подынтегральная функцифя не содержит х. Этот интеграл надо еще раз по частям взять.