Уравнение очень простое, помогите разобраться.
y'' - 2*y' +y = x

Находим общее решение ОДУ:
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k=1

Дальше, я так понимаю, надо взять частное решение, выразить А, В и т.д. Объясните, пожалуйста, в каком виде берется частное решение, и - самое главное - почему? На чем основан его вид? Примеры смотрела, теорию читала, не помогло.

И сразу, если можно, подскажите, пожалуйста, метод для решения уравнений:
y'' = y^2 * y'
y' = y*ctg(xy) + cos(x)
Мне абсолютно ничего не приходит в голову и даже не ориентируюсь, где можно посмотреть, потому что ДУ изучали очень давно.

1) y'=p (p=p(y) ), y"=p'(y)*y'=p'*p
p'p=py^2
Отдельно рассмотреть случай р=0 => y'=0 => y=C, теперь сокращаем р:
p'=y^2
p=(1/3)*y^3+C1
y'=(1/3)*y^3+C1 .....

2) Сомневаюсь, что правильно записан пример. Скорее всего y' = y*ctg(x) + cos(x)
Тогда y' - y*ctg(x) = cos(x)
линейное уравнение. Стандартный метод решения.