Уравнение очень простое, помогите разобраться.
y'' - 2*y' +y = x

Находим общее решение ОДУ:
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k=1

Дальше, я так понимаю, надо взять частное решение, выразить А, В и т.д. Объясните, пожалуйста, в каком виде берется частное решение, и - самое главное - почему? На чем основан его вид? Примеры смотрела, теорию читала, не помогло.

И сразу, если можно, подскажите, пожалуйста, метод для решения уравнений:
y'' = y^2 * y'
y' = y*ctg(xy) + cos(x)
Мне абсолютно ничего не приходит в голову и даже не ориентируюсь, где можно посмотреть, потому что ДУ изучали очень давно.

Вы уверены, что уравнение выглядит именно так? Скорее всего в аргументе котангенса y отсутствует.