Уравнение очень простое, помогите разобраться.
y'' - 2*y' +y = x

Находим общее решение ОДУ:
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k=1

Дальше, я так понимаю, надо взять частное решение, выразить А, В и т.д. Объясните, пожалуйста, в каком виде берется частное решение, и - самое главное - почему? На чем основан его вид? Примеры смотрела, теорию читала, не помогло.

Частное решение однородного:
y=C1*e^x+C2*x*e^x

Верно, часное неоднородного искать в виде y=Ax+B, А и В искать подстановкой в уравнение.