вот что у меня вышло

sqrt(4+y^2)dx-y^2/2=x^2y^2/2
sqrt(4+y^2)dx=(x^2y^2-y^2)/2
sqrt(4+y^2)dx=(y^2(x^2-1))/2
x sqrt(4+x^2)=(y^2(x^2-1))/2 + c
x sqrt(4+x^2)-(y^2(x^2-1))/2 = c


Все ли я правильно сделал?

Нет. Откуда у^2 взяли?, dy потеряли.
У Вас уравнение с разделяющимися переменными. Преобразуйте его так, чтобы слева оказались выражения содержащие у и dy, а справа оказались выражения с x и dx. Дальше берите интегралы от левой и правой частей уравнения.