(IMG:http://s40.radikal.ru/i089/0903/02/c5d4a21ea26d.jpg)

правильно ли я нашла частные производные и что дальше сделать?

если исходить из моих частных производных, то получается

(x^2)(y^2)(e^xy)-(y^2)(x^2)(e^xy)=0

Нашли правильно.Осталось подставить в диффур и убедиться,что там всё получается.
P.S.: Там,в самом верху картинки,видимо,должно быть z = e^(x*y) вместо x = e^(x*y).

конечно, z=e^xy
это я не досмотрела)