У меня или логика отсутствует или я не понимаю чего-то. Допустим:

Теорема 1.1.
Если точки O, A, B, C лежат на прямой a так, что A и B лежат по одну сторону от точки O, точки B и C также лежат по одну сторону от точки O, тогда точки A и C лежат по одну сторону от точки O.

Доказательство
Проведем через точку O прямую b, отличную от a. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Одной из них принадлежит точка B. Так как отрезки AB и BC не пересекают прямую b, то точки A и C принадлежат той же полуплоскости, что и B. Тогда отрезок AC не пересекает прямую b и, следовательно, не содержит точку O. То есть точки A и C лежат по одну сторону от точки O.

Возьмем использованное в доказательстве утверждение, на которое оно опирается: "Так как отрезки AB и BC не пересекают прямую b..". Я не могу понять, откуда берется эта истина!? Или это основывается на какой-то аксиоме, но не вижу связи. С таким же успехом я мог бы сказать, что "Так как А и С лежат по одну сторону точки О.." и сразу доказывать было бы нечего. В общем у меня такое ощущение, что подобные утверждения просто высасываются из пальца и таких утверждений можно привести множество. В таком случае как я могу проверить, что мое доказательство верно или нет?

Поправьте меня, в чем я заблуждаюсь?
Спасибо.

Да, иногда в геометрии приходится доказывать очевидные вещи. Как например в данном случае.
Здесь вот в чем дело:
Если бы отрезок AB пересекал прямую b, например в точке Н, то получили бы следующее.
Точка О принадлежит прямой a и прямой b.
Точка Н принадлежит прямой b, так как Н - точка пересечения отрезка АВ и прямой b.
Также точка Н принадлежит прямой а, так как Н принадлежит отрезку АВ, а значит и прямой а.
Получаем, что и прямая а, и прямая b проходят через точки О и Н.
Но через две точки можно провести только одну прямую, что противоречит тому, что прямые а и b различны.

Тогда что если упростить исходное доказательство до следующего:

Точка O разбивает прямую а на 2 луча, причем точка B может принадлежать только одному лучу. Т.к. отрезки AB и BC не включают точку O, то точки A и C принадлежат тому же лучу, что и точка B. Следовательно A и C лежат по одну сторону от точки O.

? Мне кажется, что это док-во так же логично, как и его усложненный исходный вариант с проведением дополнительной прямой b и определением полуплоскости. Но как проверить, действительно ли это док-во обосновано?