Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной кривой:
y = arcsin x, y = 0, x = 1

РЕШЕНИЕ:
обратная функция x = sin y на отрезке 0;1
по этому V= pi * integr(Y1,Y2) X^2dY = Pi(integr(0,1)(sinY)^2dY
применим подстановку sinY=T -> Y | T
-------
0 | 0
1 | Pi/2 -> Y=arcsinT
dY=darcsinT=dT/sqr(1-T^2), подставляем в V=Pi(integr(0,1)(sinY)^2dY и получаем:
V=Pi(integr(0,1)(T^2)*(1/sqr(1-X^2) dT
...............
дальше заминочка выходит! видать весна...
...как решить V=Pi(integr(0,1)(T^2)*(1/sqr(1-X^2) dT

зы: с наступающими праздниками 1 Мая и 9 Мая (МИР, ТРУД, МАЙ..... День ПОБЕДЫ!....)

V = int (0 1) (arcsin x)^2 dx
int (arcsin x)^2 dx = | arcsin x = t; x = sin t; dx = d(sin t) | =
= int t^2 d(sin t) = t^2 * sin t -int sin t d(t^2) = t^2 * sin t - 2 * int t * sin t dt =
= t^2 * sin t + 2 * int t d(cos t) = t^2 * sin t + 2 * (t * cos t - int cos t dt) =
= t^2 * sin t + 2 * t * cos t - 2 * sin t +C = | x = sin t; arcsin x = t | =
= (arcsin x)^2 * x + 2 * arcsin x * cos (arcsin x) - 2 * x +C =
= (arcsin x)^2 * x + 2 * arcsin x * (1 - x^2)^(1/2) - 2 * x + C
Тогда
V = int (0 1) (arcsin x)^2 dx =
= ((arcsin x)^2 * x + 2 * arcsin x * (1 - x^2)^(1/2) - 2 * x)_{0}^{1} =
= ((arcsin 1)^2 * 1 + 2 * arcsin 1 * (1 - 1^2)^(1/2) - 2 * 1) -
- ((arcsin 0)^2 * 0 + 2 * arcsin 0 * (1 - 0^2)^(1/2) - 2 * 0) =
= (pi/2)^2 - 2 = pi^2/4 - 2
Ответ: V = pi^2/4 - 2.

Огромное спасибо!