IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

2 страниц V < 1 2  
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> Найти меру, Подскажите, пожалуйста
Tri
сообщение 2.1.2009, 17:21
Сообщение #21


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



Тоже равна 0
(IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 2.1.2009, 17:30
Сообщение #22


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



А у множеств A( r ) = {(r,y) | 0<= y <=1, y иррационально} при других 0 <= r <= 1 лебегова мера какова?

Осталось понять-таки, как составлено множество, лебегова мера которого Вам нужна (множество точек квадрата, у которых первая координата рациональна, вторая - иррациональна) из "вертикальных отрезков" A( r ), где r - некоторое рациональной число от 0 до 1. Ну и воспользоваться счётной аддитивностью меры Лебега.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Tri
сообщение 3.1.2009, 11:33
Сообщение #23


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



>>А у множеств A( r ) = {(r,y) | 0<= y <=1, y иррационально} при других 0 <= r <= 1 лебегова мера какова?
Тоже равна 0
т.е. множество A будет совокупностью иррациональных и рациональных координат. И, если A представлено как сумма счётного числа непересекающихся элементарных множеств, то мера суммы счётного числа непересекающихся слагаемых равна сумме мер. Т.е. в итоге мера A будет равна 0.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 3.1.2009, 14:39
Сообщение #24


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



Верно.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Tri
сообщение 4.1.2009, 18:29
Сообщение #25


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



Теперь почти понятно:)
А как тогда обосновать, что мера множества иррациональных чисел равна 0?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 4.1.2009, 20:00
Сообщение #26


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



Мера множества иррациональных чисел равна +бесконечности.

Так, похоже, мой вывод о том, что мы со всем разобрались, был преждевременным.

У Вас множество A представлено или нет "как сумма счётного числа попарно непересекающихся множеств"? (Что значит элементарное множество, я не в курсе)

Забор из штакетника видели? Ещё раз призываю Вас подумать над вопросом: если при данном рациональном r у нас есть множество A( r ) = {(r, y) | 0<= y<=1, y иррационально}, то как из этих множеств составлено множество A = {(x,y) | 0<=x<=1, x рационально, 0<= y<=1, y иррационально}?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Tri
сообщение 8.1.2009, 18:50
Сообщение #27


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



Только сейчас смогла в интернет выйти, надеюсь, malkolm, Вы ещё заходите в эту тему:)
т.е. множество будет выглядеть как совокупность вертикальных и горизонтальных отрезков, а на их пересечении будет "пустая" точка?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 8.1.2009, 20:05
Сообщение #28


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



Даже уже и не знаю, что делать. Такое ощущение, что Вы меня не слышите.
Давайте так что ли попробуем. Квадрат [0, 1]x[0, 1] представляете себе?

У нас есть несколько множеств точек. Я их запишу, но не все. А Вы попробуйте себе каждое из них представить в квадрате. Где оно там находится? Откуда взялись какие-то горизонтальные отрезки?

A(0) = {(0, y), где y - иррациональное число из [0, 1]}
Это множество точек квадрата, у которых первая координата равна нулю, а вторая иррациональна.
A(1/2)={(1/2, y), где y - иррациональное число из [0, 1]}
Это множество точек квадрата, у которых первая координата равна 1/2, а вторая иррациональна.
A(2/3)={(2/3, y), где y - иррациональное число из [0, 1]}
Это множество точек квадрата, у которых первая координата равна 2/3, а вторая иррациональна.
A(173/397)={(173/397, y), где y - иррациональное число из [0, 1]}
Это множество точек квадрата, у которых первая координата равна 173/397, а вторая иррациональна.

Таких множеств столько, сколько есть рациональных чисел. Верно? Меру Лебега на плоскости каждого такого множества мы знаем - выше нашли.

Единственный вопрос: как через эти множества выражается множество A, о котором спрашивается у Вас в задаче?

Напомню, A - это было множество всех точек квадрата, первая координата которых рациональна, вторая - иррациональна.

Понимаете, есть совсем немного приёмов вычислять меры каких-либо множеств. Эти приёмы все зарыты в определении меры. Мера есть неотрицательная, счётно-аддитивная функция множеств. Вообще говоря, тут сидит единственный приём: чтобы найти меру какого-то сложного множества, его нужно разбить на семейство попарно непересекающихся более простых множеств, меры которых нам уже известны. Как в 3-м классе учили считать площади всяких разных фигур, разбивая их на кусочки. Именно этим мы и пытаемся с Вами заняться. Но забор увидеть |||||||| никак не выходит...
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Tri
сообщение 10.1.2009, 17:30
Сообщение #29


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



т.е., когда у нас, наоборот, x не принадлежит Q, а y принадлежит Q, то мы получаем множество горизонтальных отрезков, и только, когда обе координаты принадлежат Q, мы получаем множество пересекающихся отрезков?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 10.1.2009, 18:06
Сообщение #30


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



Когда обе координаты принадлежат Q, уже нет никаких отрезков. Их у нас и сейчас нет - уж больно они дырявые, а множество пар точек с двумя рациональными координатами есть и вовсе счётное множество точек.

Вы задачу-то решать будете? Или так и бросим?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Tri
сообщение 10.1.2009, 19:07
Сообщение #31


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



Будем:)
я про др. варианты спрашиваю потому, что у меня есть ещё подобные задачи (x и y принадлежат Q и x и y не принадлежат Q).

решение этой задачи:
есть множество точек A( r ) = {(r,y) | 0<= y <=1, y иррационально} 0 <= r <= 1. Мера этого множества равна 0(это мы определили). Соответственно, через сигма-аддитивность определяем, что мера множества таких множеств равна 0(мера суммы счётного числа непересекающихся слагаемых равна сумме мер).
=> Ответ: мера = 0.
Верно?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 10.1.2009, 19:40
Сообщение #32


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



Будет верно, как только будет ясно, где тут сумма счётного числа попарно непересекающихся слагаемых, и как она с нашим исходным множеством связана.

Вы вопрос, выделенный жирным шрифтом, так и будете игнорировать? Я могу попробовать его аршинными буквами выделить, да боюсь, модераторы забанят.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Tri
сообщение 11.1.2009, 4:03
Сообщение #33


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



это будет множество множеств точек(непересекающихся слагаемых), у которых первая координата равна нулю, а вторая иррациональна.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 11.1.2009, 4:46
Сообщение #34


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



Неверно. У точек из исходного множества первая координата вовсе не обязательно равна нулю. Более того, это ответ не на заданный вопрос.

Пожалуйста, прочтите вопрос, прочтите определения множеств A( r ), условие задачи, и ответьте.

Я, кажется, начинаю понимать существо проблем. Давайте попробуем для начала вот на какой вопрос ответить (если Вы не станете этого делать, я больше ничем помочь не смогу).

Пусть даны множества
B = {(1,y) | 0<= y <= 1},
C = {(2,y) | 0<= y <= 1},
D = {(x,y) | x=1 или 2, 0<= y <= 1}.
Как записать множество D через множества B и C? Не надо слов. Ни одного. Формулу напишите.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Tri
сообщение 11.1.2009, 4:58
Сообщение #35


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



Цитата
У точек из исходного множества первая координата вовсе не обязательно равна нулю.

Хотела написать, что первая координата рациональна

D=B в объединении с C
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 11.1.2009, 5:03
Сообщение #36


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



Ну можно написать D = B+C или D=B U C. Тогда понятно, в том числе и про исходное множество.
Любопытно было бы посмотреть на решения других задач. Кстати, мы самого главного не выяснили: какое определение меры Лебега используется? Если не хочется, не отвечайте (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Tri
сообщение 11.1.2009, 5:10
Сообщение #37


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 94
Регистрация: 26.10.2007
Город: Тюмень
Учебное заведение: ТГНГУ
Вы: студент



Вообще-то др. задач нет, это первая задача (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
В первоначальном варианте задачи в условии не было сказано, что мы находим лебегову меру, скорее всего, имеется ввиду просто мера плоских множеств))
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
malkolm
сообщение 11.1.2009, 10:14
Сообщение #38


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 2 167
Регистрация: 14.6.2008
Город: Н-ск
Вы: преподаватель



Это же не плоское множество. А потом, мер бывает безумно много. Ну ладно, лебегова так лебегова.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

2 страниц V < 1 2
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 29.3.2024, 7:10

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru