Уважаемые,разъясните,плз. Как найти базис из собственных и присоединенных векторов для ВЫРОЖДЕННОГО оператора. Пример: Оператор А задается матрицей:
-3 1 -1
-6 2 -2
3 -1 1
Как видно rank(A)=1, собственные значения: L1=L2=L3=0. Для нахождения собств.векторов решаем ур-ие: (A-LE)x=0, получаем 2 лин.независ.собств.вектора. е1=(1/3,1,0), е2=(-1/3,0,1). Они же составляют базис простр-ва решений этой однородной СЛАУ (ФСР). Матрица Жордана,если я прав,имеет вид:
0 1 0
0 0 0
0 0 0
Отсюда вопросы:
1)Как искать 3-й базисный вектор для составления базиса?Нужно ли его искать?Почему?
2)Правильно ли,что для каждого корневого подпростр-ва находится один собств.вектор (в общем случае,не только в этом)?
3)Должно ли кол-во векторов базиса,в кот.матрица имеет Жорданову форму,совпадать с размерностью матрицы оператора в вырожденном случае?
4)Киньте,плз,ссылку на лит-ру где подробно описан случай кратных собств.чисел=0
Всем зарании спасиб.

Мне один Гуру сказал,что третий вектор базиса находится так:
(A-L*E)x=e1-e2. Т.е.присоединенный вектор - х ищется как присоединенный к линейной комбинации собственных векторов е1-е2. Меня это как-то смущает.
Уважаемые мат-ки,развейте мою тягостную думу,плз.

Посмотрите, как жорданова клетка действует на базисные векторы. Станет понятно, как их находить.

Вы имеете в виду: Aе2=L*e2+e1 или что-то другое? Но я пока не улавливаю.Поясните плз.

Да.
Это можно переписать в виде (A-LE)e2=e1. Именно такому условию должны удовлетворять векторы, чтобы в базисе из них матрица приняла жорданову форму.
Для e1 уравнение Ae1=Le1, т.е. первый вектор собственный, потом начинаем искать присоединённыё.

Это я понял. Но почему для вырожденного оператора присоединенный вектор ищется как присоединенный не к собственному вектору, а как присоединенный к разности 2-х собственных векторов. Это такой алгоритм или частный метод решения в данном случае? Или есть какая-то теорема для этого случая?
Заранее спасиб.

Пришлось взять максиму и всё просчитать (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Да.
Если нужен базис или приводящая матрица, то нужно.Да.Конечно, иначе это не базис.Гантмахер. "Теория матриц". Наверняка есть и другие книги.

Такого алгоритма нет. Возможно, что это помогает в данном случае, но я в этом не уверен. Попробуйте.
Проблема скорее в кратности собственных значений. Если есть два собственных вектора, соответствующих одному собственному значению, то собственным вектором будет и любая их линейная комбинация. Если присоединённый вектор есть только у одного из двух, то взяв наугад некоторый собственный вектор мы скорее всего попадём на линейную комбинацию и нас ждёт неудача - присоединённого вектора не будет.

Общая теория тут конечно есть.

Про эту матрицу можно сказать следующее.

1. Характеристический многочлен x^3, все собственные значения равны нулю. Т.к. каждая матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению (теорема Гамильтона-Кэли), то A^3=0, т.е., подействовав этой матрицей трижды, мы получим ноль для любого вектора.

2. Легко, однако, проверить, что уже A^2=0. Это значит, что минимальный аннулирующий многочлен x^2, а это значит, что жорданова нормальная форма состоит из двух клеток: 2х2 и 1х1.

3. Посмотрим, как A действует на базисные векторы.
(1,0,0) переходит в (-3, -6, 3)=3(-1,-2,1)=3y (y=(-1,-2,1), легко проверить, что Ay, естественно, равно нулю).
(0,1,0) -> (-1,-2,1)=y
(0,0,1) -> y
Таким образом, у этой матрицы есть два собственных вектора (вы их нашли). Они и всё натянутое на них подпространство отображаются в ноль. Остальное отображается в y. Только у вектора y есть присоединённый. Поди сразу догадайся.

4. На практике можно поступать так.
Пусть матрица A имеет кратные собственные значения. Обозначим B=A-LE.
Найдём какой-нибудь вектор z, для которого Bz не даёт ноль сразу. Будем действовать на него матрицей B, пока не получим ноль. Последний ненулевой вектор - собственный (основатель цепочки), остальные - присоединённые. Скорее всего мы начали не с начала цепочки и её придётся продолжить в другую сторону, решая уравнение для присоединённого вектора, но ясно, с чего начинать, и умножать на B проще, чем решать уравнение (часть работы уже сделана).

Большой новогодний сердечный спасиб. java script:emoticon(':dribble:',%20'smid_11')

Большой "не за что". (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
С наступающим!