Добрый день,уважаемый.Буду признателен если поможете.Вопрос:Почему я не могу привести любую числовую матрицу к диагональному виду,а зачем-то привожу к Жордановой форме (клеточной).Ведь туже самую клетку Жордана я могу эквив.преобразованиями привести к диаг.виду.Или я чего-то не понимаю? Можно в e-mail.

Уважаемые! Вопрос: Почему не всякая числовая матрица подобна диагональной,а в общем случае клеточно-диагональной (Жордановой)? Ведь эквивалентными преобразованиями я могу любую числовую матрицу привести к диагональной. Что мешает ту же клетку Жордана, например, привести к диагональной форме. Или речь идет не о числовых матрицах? Если длинно,можно в мейл. [email=@akado.ru]******@akado.ru[/email]

К диагональному виду можно привести не любую матрицу.
К Жордановой нормальной форме можно привести любую.

Успех зависит от количества собственных векторов. Если их много и они образуют базис, то в этом базисе матрица примет диагональный вид. Но если характеристический многочлен имеет кратный корень и векторов меньше, то может и не получиться.
Примером такой матрицы может служить как раз Жорданова клетка. Попробуйте привести её к диагональному виду и всё увидите сами.

Например Жорданова матрица:
1 1 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 5
приводится к диагональной если из первой строки вычесть вторую.Почему я не могу так сделать?

Вы точно учитесь в МГУ? (IMG:style_emoticons/default/newconfus.gif)

Точно,учился, подзабыл, но начинаю вспоминать.Понимаю,вопрос глупый.Если можно опишите постановку задачи, приводящей к построению Жордановых форм, геометрический и физический смысл преобразований на Жордановых клетках?

У вас наверное за давностью лет приведение матрицы к диагональному виду попуталось с элементарными преобразованиями при вычислении определителя.
Тут вопрос в том, какими средствами можно пользоваться, а это определяется смыслом решаемой задачи.
Если у вас есть матрица и нужно вычислить её определитель, это можно сделать в лоб по известным формулам, но это утомительно и для больших матриц становится просто неподъёмно даже для компьютера. Но можно схитрить, заметив, что существуют преобразования матрицы, не меняющие определителя. Т.е. вы заменяете матрицу на другую, но с тем же определителем. Этими преобразованиями ситуация приводится к матрице, для которой всё очевидно и считается в уме. Достаточно привести к верхней треугольной.

Когда говорят о приведении матрицы к диагональному виду, имеют в виду совсем другое.
Если выбрана конкретная система координат, то матрица задаёт некоторое линейное отображение, т.е. позволяет по координатам точки найти координаты её образа. Именно отображение (изучение его свойств) является целью в данном случае. Тут тоже можно схитрить, заметив, что в другой системе координат (например, повёрнутой) то же самое отображение будет задаваться другой матрицей, и можно попытаться выбором подходящей СК сделать матрицу попроще. Так и возникает задача о приведении матрицы к диагональному виду. Название, как видно, неудачное: приводится-то не матрица, а то отображение, которому она соответствует.
Для решения этой задачи надо понять, как меняется матрица при замене координат и чего можно добиться именно такими преобразованиями. Оказывается, что симметричная матрица приводится всегда, а несимметричная необязательно. Зато любую матрицу можно привести к жордановой нормальной форме.

Бальшой спасиб. Уже кое-что вспомнил.

Подскажите,плз. Я нашел Жорданову матрицу для оператора А и базис из собственных векторов. Как убедиться, что в этом базисе оператор действительно имеет найденную Жорданову форму?

Пересчитайте матрицу к новому базису. Формулы наверняка есть в учебнике.

Если матрица привелась именно к Жордановой клетке, а не к диагональному виду, базиса из собственных векторов не существует, их меньше, чем надо.

Может учебник подскажете?

Например этот.
По линейной алгебре много книг.

Практически все вспомнил.Всем спасиб.