(IMG:style_emoticons/default/mellow.gif) Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить:
Найти площадь области, ограниченной кривой, заданной параметрически
x = a * cos^3 t, y = a * sin^3 t (астроида)

x = a * cos^3 t, y = a * sin^3 t
Считаем площадь по формуле:
S = 1/2 * int (0 2pi) (x(t) * y'(t) - x'(t) * y(t)) dt
y'(t) = (a * sin^3 t)' = a * 3 * sin^2 t * cos t = 3a * sin^2 t * cos t
x'(t) = (a * cos^3 t)' = a * 3 * cos^2 t * (-sin t) = -3a * sin t * cos^2 t
Получаем, что
S = 1/2 * int (0 2pi) (a * cos^3 t * 3a * sin^2 t * cos t +
+ 3a * sin t * cos^2 t * a * sin^3 t) dt =
= 3/2 * a^2 * int (0 2pi) (cos^3 t * sin^2 t * cos t + sin t * cos^2 t * sin^3 t) dt =
= 3/2 * a^2 * int (0 2pi) (sin^2 t * cos^4 t + sin^4 t * cos^2 t) dt =
= 3/2 * a^2 * int (0 2pi) sin^2 t * cos^2 t * (cos^2 t + sin^2 t) dt =
= 3/2 * a^2 * int (0 2pi) sin^2 t * cos^2 t dt =
= 3/2 * a^2 * int (0 2pi) (sin t * cos t)^2 dt =
= 3/2 * a^2 * int (0 2pi) (1/2 * 2 * sin t * cos t)^2 dt =
= 3/2 * a^2 * 1/4 * int (0 2pi) (2 * sin t * cos t)^2 dt =
= 3/8 * a^2 * int (0 2pi) sin^2 (2t) dt = 3/8 * a^2 * int (0 2pi) (1 - cos 4t)/2 dt =
= 3/16 * a^2 * int (0 2pi) (1 - cos 4t) dt = 3/16 * a^2 * (t - 1/4 * sin 4t)_{0}^{2pi} =
= 3/16 * a^2 * (2pi - 1/4 * sin 8pi - 0 + 1/4 * sin 0) = 3/8 * pi * a^2
Ответ: S = 3/8 * pi * a^2.

Спасибо огромное!!