z=cos(xy^2)
помогите пожалуйста. Не знаю как это решать.

вначале находите производную функции z по х, считая у константой:
dz/dx=(cos(xy^2))'=-sin(xy^2)*(xy^2)'=-sin(xy^2)*y^2
Аналогично находите частную производную по у.
P.S. d здесь круглые
P.S.1 Поищите примеры на форуме, подобные вопросы поднимались неоднократно.

тогда получается, что dz/dy=-sin(xy^2)*2x ?
а как найти частную производную второго порядка?

у потеряли.

d^2z/dx^2=(dz/dx)'.
Примеры, судя по всему, не искали. Например

Проверьте пожалуйста
d^2z/dx^2=-cos(xy^2)*y^4
d^2z/dy^2=-cos(xy^2)*4xy ?
А как найти смешанную производную d^2z/dxdy ?

dz/dy=-sin(xy^2)*2xy;
d^2z/dy^2=-cos(xy^2)*4(xy)^2-2x*sin(xy^2)

Нужно продифференцировать, например по игрек, первую производную по икс.

[d/dy](dz/dx)=d/dy(-cos(xy^2)*y^2)=-2y*sin(xy^2)-cos(xy^2)*y^2*2xy

А d^2z/dx^2 у меня правильно решено?

Да.

Спасибо, вы мне очень помогли.