С чего начинать решение:
Int x+14/x^3+8

С разложения на простейшие дроби.
Так должно быть: Int (x+14)/(x^3+8) или как?

Да так

В знаменатели - сумма кубов. Разбиваете на две скобочки. Потом всю дробь - на две, у одной сверху А, снизу та скобочка из знаменателя, что поменьше, у второй сверу Вх+С, снизу - вторая скобочка. Дальше находите А, В, С.

Int(x+14)/(x+2)(x^2-2x+4)

Пока верно.

A=-8 B=9 C=16

(x+14)/(x+2)(x^2-2x+4)= -8/(x+2)+(9x+16)/(x^2-2x+4)
Только как теперь интеграл найти

Как минимум должно быть А+В=0.
Пишите подробнее. Или сами сделайте проверку (приведите обратно к общему знаменателю).

A=4 B=-4 C=15

И опять не правильно.
Ведь если привести к общему знаменателю
4/(x+2)+(-4x+15)/(x^2-2x+4)
не получится

(x+14)/(x+2)(x^2-2x+4)

0=A+B
1=-2A-2B+C
14=4A+2C

1=-2A+2B+C

Да я поняла свою ошибку, но как интеграл найти

Запишите сначала, что получилось
int (x+14)dx/(x^3+8)=...
и скажите где затруднения

(x+14)/(x+2)(x^2-2x+4)=3/(x+2)+(-3x+1)/(x^2-2x+4)


int (x+14)dx/(x^3+8)=int 3/(x+2)+(-3x+1)/(x^2-2x+4)dx

И опять не те A,B,C...

int (x+14)dx/(x^3+8)=int 1/(x+2)+(5-x)/(x^2-2x+4)dx

Вот теперь правильно!
А интеграл, думаю, можно так взять
int (x+14)dx/(x^3+8)=int 1/(x+2)+(5-x)/(x^2-2x+4)dx=
=int dx/(x+2)-int(x-5)/(x^2-2x+4)dx=
первый интеграл табличный

int(x-5)/(x^2-2x+4)dx=int(x-1-4)/(x^2-2x+4)dx=
=int(x-1)/(x^2-2x+4)dx-4int dx/(x^2-2x+4)=
теперь последний интеграл табличный

int(x-1)/(x^2-2x+4)dx=(1/2)int d(x^2-2x+4)/(x^2-2x+4)=...
а теперь замена

Спасибо большое!!!!!