Решил такую задачу: Найти уравнение параболы и её директрисы, если известно, что парабола симметрична относительной оси Ох и что точка пересечения прямых у=х и х+у-2=0 лежит на пораболе.

В принципе я нашёл и точку пересечения (1;1) и уравнение параболы у²=х и директрисы х=-¼ ,но это всё для параболы с вершиной координат в точке (0;0) и канонической формулы у²=2рх. А как доказать, что вершина параболы в точке (0;0)??? ведь об этом в задаче не сказано. Искал по другим примерам, но там почти везде в условии сразу оговорено, что вершина в начале координат.

Может я не понимаю что значит каноническое уравнение параболы? Ведь классическое уравнение для параболы из школы будет х=ау²+by+с , при а≠0 , но тогда для решения нужны 3 точки, а даны "полторы"?

На первый взгляд в условии явно что-то недоговаривают т.к. симметричность не означает, что вершина параболы в точке (0;0). Вершина может быть в точке (-5;0)

каноническое уравнение параболы

(y-y0)^2=2p(x-x0)
или
(x-x0)^2=2p(y-y0)

x0,y0 координаты вершины.

х = ау²+by+с
Можно решать так: так как парабола симметрична относительно оси Ох, то для любых у x(y) = x(-y).
x(y) = a * y^2 + b * y + c, x(-y) = a * (-y)^2 + b * (-y) + c
x(y) = a * y^2 + b * y + c, x(-y) = a * y^2 - b * y + c
x(y) = x(-y) => a * y^2 + b * y + c = a * y^2 - b * y + c
b * y = -b * y
Отсюда следует, что b = 0.
x = a * y^2 + c
Точка (1;1) принадлежит параболе, тогда
1 = a * 1^2 + c => c = 1 - a.
x = a * y^2 + 1 - a.
Получается множество парабол.
Необязательно проходящих через (0;0).

по ответам в учебнике - уравнение параболы у²=х ; директрисы х=-¼ и найти их, при условии, что вершина в (0;0) не составляет труда - только в формулу подставляй. Может просто предположить что вершина в (0;0) или что есть такая система координат, в которой вершина будет в (0;0) ???