Какое число больше sin(cosx) или cos(sinx)?

a > b, если a - b > 0
Используем это.
cos (sin x) - sin (cos x) = sin (pi/2 - sin x) - sin (cos x) =
= 2 * sin ((pi/2 - sin x - cos x)/2) * cos ((pi/2 - sin x + cos x)/2)
Используем оценку для a * cos x + b * cos x:
-(a^2 + b^2)^(1/2) <= a * cos x + b * cos x <= (a^2 + b^2)^(1/2)
Тогда
-((-1)^2 + (-1)^2)^(1/2) <= -sin x - cos x <= ((-1)^2 + (-1)^2)^(1/2)
-2^(1/2) <= -sin x - cos x <= 2^(1/2)
Аналогично
-2^(1/2) <= -sin x + cos x <= 2^(1/2)
Тогда
-2^(1/2) + pi/2 <= pi/2 - sin x - cos x <= 2^(1/2) + pi/2
-2^(1/2) + pi/2 <= pi/2 - sin x + cos x <= 2^(1/2) + pi/2
Отсюда
-2^(1/2)/2 + pi/4 <= (pi/2 - sin x - cos x)/2 <= 2^(1/2)/2 + pi/4
-2^(1/2)/2 + pi/4 <= (pi/2 - sin x + cos x)/2 <= 2^(1/2)/2 + pi/4
Оценим -2^(1/2)/2 + pi/4 и 2^(1/2)/2 + pi/4 (сравним их с 0 и pi/2).
-2^(1/2)/2 + pi/4 0 | * 4
-2 * 2^(1/2) + pi 0
pi 2 * 2^(1/2)
Возведем в квадрат
pi^2 4 * 2
pi^2 8
pi^2 > 8 => -2^(1/2)/2 + pi/4 > 0

2^(1/2)/2 + pi/4 pi/2 | * 4
2 * 2^(1/2) + pi 2 * pi
2 * 2^(1/2) pi
Возведем в квадрат
4 *2 pi^2
8 pi^2
8 < pi^2 => 2^(1/2)/2 + pi/4 < pi/2
Окончательно получаем:
cos (sin x) - sin (cos x) = 2 * sin ((pi/2 - sin x - cos x)/2) * cos ((pi/2 - sin x + cos x)/2)
Оба аргумента ((pi/2 - sin x - cos x)/2 и (pi/2 - sin x + cos x)/2), как уже было показано, являются при любых х углами первой четверти => их синус и косинус положительны =>
cos (sin x) - sin (cos x) > 0 => cos (sin x) > sin (cos x)