To Wave
Мы хотим проинтегрировать выражение zdz / (z^2 +1)
Смысла использовать интегрирование по частям нет

Давайте сделаем замену u = z^2+1.
Тогда du = d(z^2+1) = 2zdz, то есть zdz = du/2

Тогда zdz / (z^2 +1) = du/2u
При интегрировании получаем int [zdz / (z^2 +1)] = int [du/2u] = 0.5 * ln|u| + C = 0.5 * ln(z^2+1) + C

а тут такой ответ:(y')^2 +1=x*C ?


y'''=dy''/dx
y''=z, a потом dz/dx -z=6x^2 -3x ?

а вот в таком тоже с замены начать? : y''+10y'+25y=20-75x

Нет, сначала надо решить характеристическое уравнение.
y'' + 10y' + 25y = 0 => k^2 + 10k + 25 = 0
Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами.