(x^3+e^y)y'=3x^2

x^3+e^y=3x^2(dx/dy)
x=uv
(uv)^3+e^y=3(uv)^2(u(dv/dy)+v(du/dy))
(u^3)*(v^2)(v-3(dv/dy))=3(u^2)*(v^3)(du/dy)-e^y
v=3(dv/dy)
v=e^1/3

правильный ли мой ход мысли и как дальше?

Нет, это не уравнение Бернулли. Это уравнение можно свести к уравнению в полных дифференциалах при помощи интегрирующего множителя (IMG:http://i053.radikal.ru/0809/f2/e5f26d89f7a1.png)

Попробуйте, думаю не ошибся...