IPB

Здравствуйте, гость ( Вход | Регистрация )

 
Ответить в эту темуОткрыть новую тему
> Разложение суммы квадратов
Draqon
сообщение 9.4.2007, 21:24
Сообщение #1


Новичок
*

Группа: Пользователи
Сообщений: 2
Регистрация: 9.4.2007
Город: Moscow



Такая проблемка странная,
есть сумма m^2 по m
m принимает значения l, l-1, ... , -l+1, -l. Всего 2l+1 значений
Так вот эта сумма разкладывается в произведение 1/3 * l(l+1)(2l+1)

КАК? толи мозги кипят толи я вообще дурак

PS Это кусок задачи по физике, где речь идет о квантовых числах и тд
допустим при l=2
m= 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2
тогда нужная сумма = 2^2 + 1^2 + 1^2 +2^2 = 4+1+1+4=10
Она же 1/3 * 2*3*5 = 10
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 10.4.2007, 2:59
Сообщение #2


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Это удвоенная сумма квадратов натуральных чисел от 1 до l .
А для суммы квадратов натуральных чисел есть формула - посмотрите в справочнике - не помню.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Draqon
сообщение 10.4.2007, 6:53
Сообщение #3


Новичок
*

Группа: Пользователи
Сообщений: 2
Регистрация: 9.4.2007
Город: Moscow



Цитата(venja @ 10.4.2007, 2:59) *

Это удвоенная сумма квадратов натуральных чисел от 1 до l .
А для суммы квадратов натуральных чисел есть формула - посмотрите в справочнике - не помню.


Ну сумма n-первых натуральных чисел S=1/6*n(n+1)(2n+1)
А как эту формулу вывести?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 10.4.2007, 9:37
Сообщение #4


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



По индукции.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
crazymaster
сообщение 7.7.2008, 15:05
Сообщение #5


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 240
Регистрация: 9.3.2007
Город: Нефтеюганск
Учебное заведение: ТУСУР
Вы: студент



Подскажите, а есть формула для суммы квадратов нечетных натуральных чисел (1^2+3^2+5^2+...) ?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Inspektor
сообщение 7.7.2008, 15:28
Сообщение #6


Аспирант
***

Группа: Активисты
Сообщений: 384
Регистрация: 11.6.2008
Город: Крыжополь
Учебное заведение: БГТУ
Вы: студент



Вроде получается n/3*(2n+1)(2n-1).
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 7.7.2008, 15:31
Сообщение #7


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Inspektor @ 7.7.2008, 18:28) *

Вроде получается n/3*(2n+1)(2n-1).

т.е. так n/[3*(2n+1)(2n-1)] или так: n(2n+1)(2n-1)/3?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 7.7.2008, 15:31
Сообщение #8


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Ее легко вывести, вычитая из суммы квадратов всех чисел сумму квадратов четных чисел (последняя по известной формуле суммы квадратов, если 4 вынести за скобку).
Можно и в лоб, учитывая, что (2k+1)^2=4k^2+4k+1
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
crazymaster
сообщение 7.7.2008, 15:31
Сообщение #9


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 240
Регистрация: 9.3.2007
Город: Нефтеюганск
Учебное заведение: ТУСУР
Вы: студент



Цитата(Inspektor @ 7.7.2008, 21:28) *

Вроде получается n/3*(2n+1)(2n-1).

а как вы такой ряд просуммировали?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
crazymaster
сообщение 7.7.2008, 15:45
Сообщение #10


Студент
**

Группа: Продвинутые
Сообщений: 240
Регистрация: 9.3.2007
Город: Нефтеюганск
Учебное заведение: ТУСУР
Вы: студент



Цитата(venja @ 7.7.2008, 21:31) *

Ее легко вывести, вычитая из суммы квадратов всех чисел сумму квадратов четных чисел (последняя по известной формуле суммы квадратов, если 4 вынести за скобку).
Можно и в лоб, учитывая, что (2k+1)^2=4k^2+4k+1

Спасибо Вам, я разобрался
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 7.7.2008, 17:02
Сообщение #11


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(crazymaster @ 7.7.2008, 18:05) *

Подскажите, а есть формула для суммы квадратов нечетных натуральных чисел (1^2+3^2+5^2+...) ?

Вот подобное задание: найти геометрически сумму квадратов первых n нечётных чисел.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Inspektor
сообщение 7.7.2008, 17:29
Сообщение #12


Аспирант
***

Группа: Активисты
Сообщений: 384
Регистрация: 11.6.2008
Город: Крыжополь
Учебное заведение: БГТУ
Вы: студент



Цитата
т.е. так n/[3*(2n+1)(2n-1)] или так: n(2n+1)(2n-1)/3?

Конечно второе. Если бы в знаменателе было выражение, то оно было бы в скобках (IMG:style_emoticons/default/bigwink.gif) .
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
tig81
сообщение 7.7.2008, 17:38
Сообщение #13


Академик
********

Группа: Преподаватели
Сообщений: 15 617
Регистрация: 15.12.2007
Город: Украина, Запорожье
Учебное заведение: ЗНУ
Вы: преподаватель



Цитата(Inspektor @ 7.7.2008, 20:29) *

Конечно второе. Если бы в знаменателе было выражение, то оно было бы в скобках (IMG:style_emoticons/default/bigwink.gif) .

ну на всякий случай!
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Elvoret
сообщение 18.8.2008, 11:25
Сообщение #14


Новичок
*

Группа: Пользователи
Сообщений: 2
Регистрация: 18.8.2008
Город: YVR
Вы: другое



Цитата(Draqon @ 10.4.2007, 9:53) *

Ну сумма n-первых натуральных чисел S=1/6*n(n+1)(2n+1)
А как эту формулу вывести?


Цитата(venja @ 10.4.2007, 12:37) *

По индукции.


По индукции я могу доказать, что эта формула верна. А как я могу ее вывести?
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Ярослав_
сообщение 18.8.2008, 14:33
Сообщение #15


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 1 598
Регистрация: 3.1.2008
Город: Тольятти
Учебное заведение: УРАО



Цитата(Elvoret @ 18.8.2008, 15:25) *

По индукции я могу доказать, что эта формула верна. А как я могу ее вывести?

Скачайте такую книжку - И.П. Натансон "Суммирование бесконечно малых величин"
Очень интересная и полезная книжка, там и найдете ответ на ваш вопрос.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
venja
сообщение 18.8.2008, 17:57
Сообщение #16


Доцент
******

Группа: Преподаватели
Сообщений: 3 615
Регистрация: 27.2.2007
Город: Екатеринбург
Вы: преподаватель



Цитата(Elvoret @ 18.8.2008, 17:25) *

По индукции я могу доказать, что эта формула верна. А как я могу ее вывести?


Это, думаю, формула суммы КВАДРАТОВ n натуральных чисел.
А догадаться о ней можно только наблюдением. Сложить сначала сумму квадратов первых двух натуральных чисел, потом трех, четырех.. . Пока не увидите закономерность в получающихся суммах. А как догадаетесь - начинаете доказывать то, о чем догадались, по индукции.
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Inspektor
сообщение 18.8.2008, 18:55
Сообщение #17


Аспирант
***

Группа: Активисты
Сообщений: 384
Регистрация: 11.6.2008
Город: Крыжополь
Учебное заведение: БГТУ
Вы: студент



Ярослав дал ссылку на книгу, там сразу вывод этой суммы идёт(через куб суммы).
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Ярослав_
сообщение 18.8.2008, 19:43
Сообщение #18


Старший преподаватель
*****

Группа: Преподаватели
Сообщений: 1 598
Регистрация: 3.1.2008
Город: Тольятти
Учебное заведение: УРАО



Цитата(Inspektor @ 18.8.2008, 22:55) *

Ярослав дал ссылку на книгу, там сразу вывод этой суммы идёт(через куб суммы).

Ну дык... (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения
Elvoret
сообщение 4.11.2008, 5:35
Сообщение #19


Новичок
*

Группа: Пользователи
Сообщений: 2
Регистрация: 18.8.2008
Город: YVR
Вы: другое



Цитата(Ярослав_ @ 18.8.2008, 17:33) *

Скачайте такую книжку - И.П. Натансон "Суммирование бесконечно малых величин"
Очень интересная и полезная книжка, там и найдете ответ на ваш вопрос.


Нашел. Спасибо! (IMG:style_emoticons/default/smile.gif)
Пользователь в офлайнеКарточка пользователяОтправить личное сообщение
Вернуться в начало страницы
+Ответить с цитированием данного сообщения

Ответить в эту темуОткрыть новую тему
1 чел. читают эту тему (гостей: 1, скрытых пользователей: 0)
Пользователей: 0

 



- Текстовая версия Сейчас: 28.3.2024, 14:07

Книжки в помощь: "Сборник заданий по высшей математике" Кузнецов Л.А., "Сборник заданий по высшей математике" Чудесенко В.Ф., "Индивидуальные задания по высшей математике" Рябушко А.П., и другие.




Зеркало сайта Решебник.Ру - reshebnik.org.ru